[中學] 資優試題

看板Math作者 (半瓶水)時間11年前 (2014/06/23 23:02), 編輯推噓0(0推 0噓 14→)
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設 a,b,c 為互異整數，若 a^4 b^2 c^4 ------------ + ----------- + ------------ = 12 (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) 求序組 (a,b,c) 有幾組解？ 先謝謝各位了！~~~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.194.203.81 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1403535743.A.1E5.html
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06/23 23:11, , 1F
中間那項是b^2還是b^4？
06/23 23:11, 1F
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06/23 23:16, , 2F
題目打b^2，我也懷疑打錯 Q_Q
06/23 23:16, 2F
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06/23 23:27, , 3F
2次應該是錯的 左右同乘(a-b)(b-c)(c-a)移項至同側
06/23 23:27, 3F
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06/23 23:28, , 4F
可視為變數b的2次式,公式解發現無法為整數
06/23 23:28, 4F
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06/23 23:35, , 5F
如果是 b^4 的話，有辦法解嗎？^_^
06/23 23:35, 5F
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06/23 23:52, , 6F
題目改成b^4的話,仿上移項 然後配方
06/23 23:52, 6F
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06/23 23:55, , 7F
(12 - ((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)/2)(a-b)(b-c)(c-a)
06/23 23:55, 7F
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06/23 23:56, , 8F
=0 又a,b,c互異 故得(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=24
06/23 23:56, 8F
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06/24 00:00, , 9F
又24≡0(mod4)且 平方數≡0或1(mod4) 得a+b,b+c,c+a
06/24 00:00, 9F
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06/24 00:03, , 10F
都偶數 之後簡單代值可得解為{a,b,c} = ±{4,0,-2}
06/24 00:03, 10F
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06/24 00:04, , 11F
共12組解
06/24 00:04, 11F
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06/24 00:17, , 12F
令a+b,b+c,c+a分別為2m,2n,2t代入 會解很快
06/24 00:17, 12F
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06/24 00:24, , 13F
了解了，謝謝您！
06/24 00:24, 13F
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07/07 12:17, 6年前 , 14F
都偶數 之後簡單代值 http://yaxiv.com
07/07 12:17, 14F
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