Re: [中學] 一題有點意思的因倍數問題~
※ 引述《letmegoogle (goo之哉 goo之哉)》之銘言：
: 一個朋友問我這題，很不幸的我卡關了~
: 題目如下。
: 設n≡1(mod 6)
: 或n≡2(mod 6)
: 或n≡4(mod 6)
: 或n≡5(mod 6)
: 求證:10^(2n)+10^n+1為37的整倍數。
: 我做了一個很基本的步驟~
: n=1，n=2，n=4，n=5一一驗證，
: 然後~然後我就不知道怎麼辦了~
: 請大家幫幫忙囉~
未做完,但數學歸納法應該可解:
考慮n=6k+1
k=0 , 111是37的倍數
假設k=t時,10^(2(6t+1)) + 10^(6t+1) + 1 = 37m
當k=t+1時,10^(2(6t+7)) + 10^(6t+7) + 1
= 10^12˙(37m) - [10^12-10^6]˙10^(6t+1) - [10^12-1]
^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^
999999000000 999999999999
上面兩個大數都是111的倍數,自然也是37的倍數,故上式可確定是37的倍數
若你已驗證n=2,4,5都成立的話,考慮n=6k+2,6k+4,6k+5照此法各別數學歸納
應該結果相同.
以上僅供參考.
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