Re: [中學] 內外積混合問題
※ 引述《LPH66 (1597463007)》之銘言：
: ※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: : a,b,c 是空間向量且 a．(b ×c) = 5
: : 求 (a ×c)．[(b ×a) ×(b ×c)]
: 由三重積公式
: a ×(b ×c) = b (a．c) - c (a．b)
: a．(b ×c) = b．(c ×a) = c．(a ×b)
: 可得
: (b ×a) ×(b ×c)
: = b((b ×a)．c) - c((b ×a)．b)
: = b((c ×b)．a) - c((b ×b)．a)
: = b(-5) - c(0)
: = -5b
: 故原式 = (a ×c)．(-5b)
: = (-5)((a ×c)．b) = (-5)((c ×b)．a) = (-5)(-5) = 25
由
| a．c a．d |
(a ×b)．(c ×d) = | | ~(*)
| b．c b．d |
| 0 5 |
原 = | | = 25
| -5 0 |
------------------------------------------
高中範圍可導出 (*)
令 x = (a ×b)．(c ×d)
| a．c a．d |
y = | |
| b．c b．d |
x^2=
| (c ×d)^t | | | | (c ×d)．(a ×b) 0 0 |
| a^t | | (a ×b) c d | = | 0 a．c a．d | = xy
| b^t | | | | 0 b．c b．d |
=> x = y (把 a,b,c,d 都想成是變數,則這是多項式的等式,且 x≠零多項式)
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由(*)可推出三重積公式
d．(a ×(b ×c)) = (b ×c)．(d ×a) = d．((a．c)b-(a．b)c)
把 d 想成變數(或 d 用 e_1,e_2,e_3 代入)
=> a ×(b ×c) = (a．c)b-(a．b)c
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順道一提,(*)也可用 Cauchy-Binet formula 看出來
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Binet_formula
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