Re: [中學] 非線性遞迴
※ 引述《BLUEBL00D (777)》之銘言：
: ※ 引述《shingai (shingai)》之銘言：
: : 如下遞迴:
: : a_1=sqrt(2)
: : a_(n+1)=sqrt( 2+sqrt(a_n) )
: : 首先
: : 抓了個三，用M.I.證實了有上界
: : 但到證實遞增
: : 考慮
: : a_(n+1)/a_(n) 以及 a_(n+1)-a_n 搓不出結果>1, >0
: : 再來
: : 想說先算算固定點看看收斂到哪
: : 卻跟我想像中以為的 應該跟另一個 a_(n+1)=sqrt( 2+a_n ) 差得非常遠@@
: : 得到一個 x^2 = 2+sqrt(x) 非線性方程(這種方程解腦中也沒代數解工具)
: : 有請高人指點迷津!
: a_2=sqrt( 2+sqrt(a_1) ) > sqrt(2)=a_1 往下帶
: a_3=sqrt( 2+sqrt(a_2) ) > sqrt( 2+sqrt(a_1) ) =a_2 往下帶
: ..
: a_n=sqrt( 2+sqrt(a_n-1) ) > sqrt( 2+sqrt(a_n-2) ) =a_n-1
: 是遞增沒錯
遞增懂了，謝謝!
再來是收斂值的疑問
我試著用EXCEL來看看收斂值
1.414213562 = a_1
1.785835131 = a_2
1.82656821 .
1.830711857 .
1.831130255 .
1.83117247
1.831176729
1.831177159
1.831177202
1.831177207
1.831177207
1.831177207
1.831177207
1.831177207
1.831177207
1.831177207
1.831177207
而拿wolframalpha
解 x^2=2+sqrt(x)
得
x = 1/3 (-1+(79/2-(3 sqrt(249))/2)^(1/3)+(1/2 (79+3 sqrt(249)))^(1/3))
看來是只能轉成四次多項式再用公式解才有closed form solution 了
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