Re: [中學] 多項方程式的重根
※ 引述《takeyourtime (鐘點戰)》之銘言：
: 如何證明實根中的偶數重根(例如二重根，四重根..)
: 必為極值點?
: 假設f(x)=(x-a)^2k.Q(x)，k為正整數，Q(a)不為0
: 可否證明f'(x)在x=a前後，導數異號?
: 或有其他想法?
: 被家教學生問倒了，請高手幫忙。
推文難打字，回一下。
令 f(x) 為有限多項式，於 x = a 處有 2k 重根。
令 y = x - a，且 g(y) = f(x)，
2k
則 g(y) = y Q(y)； Q(y) 是多項式且常數項不為零。
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不算完整證明，但是很快速的看法：
2k 2k+1
g(y) = y + y + ... 這種型式，
2k
所以在 y --> 0 的時候可以取 g(y) ~ y
這東西在原點附近長什麼樣子不用我說了吧？
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(2k-1)
很明顯 g(0) = g'(0) = g''(0) = ... = g (0) = 0
因為只要你還沒把前面的 y^2k 整個微掉，代值進去一定是零。
(2k)
然後 g (y) = (2k)! Q(y) + (2k-1)! y Q'(y) + ...
後面代值都是零
(2k)
所以 g (0) = (2k)! Q(0) =\= 0
2k次微分非零 --> (2k-1)次微分異號 --> (2k-2)次微分同號 --> (2k-3)次微分異號
--> ... --> 一次微分異號
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推
04/29 22:42, , 1F
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