[中學] 多項方程式的重根

看板Math作者 (鐘點戰)時間10年前 (2014/04/29 21:25), 編輯推噓1(1推 0噓 18→)
留言19則, 7人參與, 4年前最新討論串1/4 (看更多)
如何證明實根中的偶數重根(例如二重根，四重根..) 必為極值點? 假設f(x)=(x-a)^2k.Q(x)，k為正整數，Q(a)不為0 可否證明f'(x)在x=a前後，導數異號? 或有其他想法? 被家教學生問倒了，請高手幫忙。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.73.248.119 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1398777929.A.779.html
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04/29 21:35, , 1F
錯的,ex:f(x)=(x+3)x^4 有4重根x=0 但x=0非極值點
04/29 21:35, 1F
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04/29 21:57, , 2F
樓上這個例子真的是極值啊...
04/29 21:57, 2F
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04/29 21:58, , 3F
y = x^3 在原點才是正確的反例
04/29 21:58, 3F
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04/29 22:00, , 4F
一樓:x=0是極植點沒錯喔XD
04/29 22:00, 4F
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04/29 22:01, , 5F
2F:那是奇數重根，是反曲點。如果証的出極值點，
04/29 22:01, 5F
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04/29 22:02, , 6F
奇數重根是反曲點就同理可證啦
04/29 22:02, 6F
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04/29 22:03, , 7F
啊，漏看「偶數」
04/29 22:03, 7F
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04/29 22:05, , 8F
1. 假設多項式只有有限多項，有偶數重根於 x = a
04/29 22:05, 8F
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04/29 22:05, , 9F
我的證法是取a的左極限與右極限，因為Q不為0所以必
04/29 22:05, 9F
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04/29 22:05, , 10F
反號，至於用導數證的話計算十分複雜我放棄...
04/29 22:05, 10F
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04/29 22:06, , 11F
2. 令 y = x - a，改寫 f(x) = g(y)
04/29 22:06, 11F
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04/29 22:06, , 12F
必為同號，上面打錯抱歉
04/29 22:06, 12F
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04/29 22:07, , 13F
3. 微分，代值，得證
04/29 22:07, 13F
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04/29 22:52, , 14F
假設Q(a)>0, f(a+)>0 f(a)=0 f(a-)>0 Q(a)<0同理
04/29 22:52, 14F
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04/29 22:53, , 15F
但這個方式只能講給學生懂 無法證明orz
04/29 22:53, 15F
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04/29 22:56, , 16F
這樣 代表x=a前後函數值同號 凹口向上或向下
04/29 22:56, 16F
推
04/29 23:53, , 17F
阿 我看錯了 不好意思
04/29 23:53, 17F
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01/02 15:45, 5年前 , 18F
奇數重根是反曲點就同理 https://muxiv.com
01/02 15:45, 18F
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07/07 12:04, 4年前 , 19F
樓上這個例子真的是極值 https://muxiv.com
07/07 12:04, 19F
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