Re: [線代] 矩陣高次方跟向量的乘積
※ 引述《aegius1r (SC)》之銘言：
: 標題: [線代] 矩陣高次方跟向量的乘積
: 時間: Tue Oct 22 00:48:38 2013
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: 太久沒算線代了 做考古題卡住....
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: 原題不是這樣, 這是化簡過後要計算的:
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: 102
: A = [1 2 4], x = [1], 求 A x
: [0 1 0] [1] (A^102*x)
: [0 1 2] [1]
:
: 已經確認過A不能對角化
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: [1] [4]
: 特徵值、特徵向量: 1 → [0]、2 → [0]
: [0] [1]
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: 請大家幫忙~
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: (原題: http://ppt.cc/dIo4 線代部份第8題 若這題可以用其他解法求出也可, 謝謝!)
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: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 1.34.78.147
: → THEJOY :多代入幾次，會發現有規律 10/22 01:08
: → THEJOY :只是常數項的規律很醜 10/22 01:09
: 我有計算過一些次方 發現有點規律 但應該有直接的計算方法去解這題?
: ※ 編輯: aegius1r 來自: 1.34.78.147 (10/22 01:12)
: 自問自答可以嗎..XD
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: 剛剛找資料找到一種做法
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: A的特徵多項式是char(A)=-(t-1)^2*(t-2)
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: 由Cayley-Hamilton定理知(A-I)^2*(A-2I)=0
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: 考慮x^102=q(x)*(x-1)^2*(x-2)+a(x-1)^2+b(x-1)+c
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: 代入x=1、2和微分後代入x=1
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: 不難發現a=2^102-103、b=102、c=1
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: 因此A^102=(2^102-103)(A-I)^2+102(A-I)+1
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: 後續就算出(A-I)、(A-I)^2之後代入 最後再乘上向量(1 1 1)^t即可
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: (還是想知道其他做法XD
: ※ 編輯: aegius1r 來自: 1.34.78.147 (10/22 02:09)
: 推 alamabarry :不能對角化 jordan form嗎? 10/22 02:35
: jordan form不怎麼會做 煩請告知做法 謝謝~
: ※ 編輯: aegius1r 來自: 1.34.78.147 (10/22 02:40)
: 推 alamabarry :自己去翻書好嗎............我又不是你的家教 10/22 12:52
: ...我想如果只要翻書就能解決一切問題 我們就不需要數學版了
: 我昨天為了這題也找過好幾種方法 包括jordan form
: 只是自己看實在不太懂 才會在這邊求教的
: 如果您不想討論可以不用推文的 謝謝.
: ※ 編輯: aegius1r 來自: 140.122.199.216 (10/22 14:34)
: 我寫一下自己遇到的困難點好了
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: 查了資料 要找jordan form應該是要先找到generalized eigenvector
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: 所以我先計算N((A-I)^2)=span{(1,0,0)^t,(0,1,-1)^t}
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: 然後看起來是可以得到
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: [1 0 4] [1 1 0]
: P = [0 1 0] J = [0 1 0] A = P J P^-1
: [0 -1 1], [0 0 2],
P 的組成向量不是隨便抓一抓。
Jordan form的意義就是：
在一個適當的基底選取下，A矩陣的表示法會變得很美好，長成Jordan form那樣美好。
如你（應該）所知的，一個基底變換就對應到將某個可逆矩陣P，共軛作用在原矩陣上。
那Jordan form如果從向量映射的角度來看，這個線性映射如何作用？
我們先看一個 Jordan block就好，比方：J = [ 2 1 0 ]
[ 0 2 1 ]
[ 0 0 2 ]
主對角線 2，看起來有點佔位，把他減掉看看好了，即考慮
J- 2I = [ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ]
[ 0 0 0 ]
又如你（應該）所知的，如果有一組基底{e_1,e_2,e_3} (我們這裡考慮三維)
一個線性映射 T 寫成矩陣的時候， 他就會長成 [T(e_1) | T(e_2) | T(e_3)]這樣，
其中 T(e_i) 表示
e_i 經過 T映射後的image的座標表示法（with respect to {e_1,e_2,e_3})
回到剛剛的 J-2I，考慮 {v_1,v_2,v_3}是 standard basis，即
v_1=[1 0 0]^t,v_2=[0 1 0]^t,v_3=[0 0 1]^t
那麼 (J-2I) v_1 = 0 , (J-2I)v_2 = v_1 , (J-2I) v_3=v_2
意即：往回嚕一格，v_1送入墳場，映到零向量了；
再作用 (J-2I)一次的話，就又會再嚕一格：
(J-2I)^2 v_2 = (J-2I)v_1 = 0 , (J-2I)^2 v_3=v_1
再嚕一次的話，就： (J-2I)^3 v_3 = (J-2I) v_1 = 0；通通送入墳場了。
圖解的話，就有這樣的一個意會圖示：
J-2I J-2I J-2I
v_3 -----------> v_2 -----------> v_1 -----------> 0
看起來就像一串珠子。
再一般化一點的話，很容易就可以看出：每多一個 Jordan block 就可以多劃一串珠子，
而那些珠子之間他是一個接一個的， v_2 就是 (J-2I)v_3，
v_1就是 (J-2I)v_2=(J-2I)^2 v_3
所以要具像化，得出整串 v_i，就是把 v_3 定好就好了，
那定的時候，意思就是要找一個在(J-2I)^3 kernel裡，但不在低一次的kernel裡的向量。
（不然，撐不住嚕那麼多格就變零向量了。）
每多一個 Jordan block，就會多一串珠子，
所以書上一個常用的輔助圖式就是一個叫"點圖"的東西。
不同的 Jordan block，可能主對線上的元素會一樣，比方說：
J= [ 2 1 0 0 0 ]
[ 0 2 1 0 0 ]
[ 0 0 2 0 0 ]
[ 0 0 0 2 1 ]
[ 0 0 0 0 2 ]
這個時候考慮 J-2I，那就會有兩條一起嚕：
v_3 --> v_2 --> v_1 --> 0
v_5 --> v_4 --> 0
在熟悉整個概念後，什麼 v_i，零向量，箭頭的就不用多寫了，變成：
。 。 。
。 。
這即是所謂的：點圖，一個橫列代表一串，對應到一個 Jordan block。
（當然，要劃成直式的也可以;就變直行代表一串，所以要注意書上到底是哪一個用法。）
而每個直行到底要放幾個點，就是去看 (J-2I)^k 的 kernel 維度變化
(即 null((J-2I)^k) ，就可決定。
有了點圖後，就可以一串串地，寫出對應的 Jordan block。
然後找每串v_i的頭，就一樣從在高次，但不在次低一次的 kernel去找。
所以回到你的問題，你那個 P，首先取 v_2= [0 1 -1]^t後，
接著算 (A-I)v_2 = [-2 0 0]^t，這個就是 v_1,
因此，P = [ -2 0 4 ] J = [ 1 1 0 ]
[ 0 1 0 ] [ 0 1 0 ]
[ 0 -1 1 ] [ 0 0 2 ]
If P^{-1} exists, then " A=PJP^{-1} <=> AP=PJ "
驗證分別計算 AP 跟 PJ，即可。
v_i的放法跟Jordan block的位置都是有相對關係的，要放正確，不可隨便亂變。
如果 Jordan block 換成定義說 1在下三角的話， e.g, [ 2 0 0 ]
[ 1 2 0 ]
[ 0 1 2 ]
那也要注意 v_i嚕法也變了，所以取P的時候，也要做對應的變動。
:
: 只是驗算過相乘不太對
:
: 麻煩請其他熱心的板友告訴我哪裡做錯了 感謝
: ※ 編輯: aegius1r 來自: 140.122.199.216 (10/22 15:07)
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◆ From: 182.235.182.218
推
10/22 21:07, , 1F
10/22 21:07, 1F
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