Re: [工數] 傅立葉轉換
※ 引述《gj942l41l4 (魯魯)》之銘言：
: * 以下的F{}表傅立葉轉換
: 題目：求 F{e^iax}
: 答案是 2π*δ(ω-a)
: 書上用的方法是利用
: ^ ^
: F{f(x)}=f(ω) => F{f(x)}=2πf(-ω) 的性質
: 先求 F{δ(x-a)} = e^(-iaω)
: 故 F{e^(iax)} = 2πδ(ω-a)
: 看起來一切合理，可是為何我用定義去做，卻做不出來呢?
: 這樣我有點難以接受啊= =
: 有沒有人可以說服我為什麼會發生這種事~~~
你需要
+∞
S dx exp[-i (w-a) x]
-∞
這個積分。
但是你拿去數學系問，每個人都會告訴你這積分不存在。
事實上，數學上δ-function作為「函數」是不可能存在的。什麼只有在一
點無限大，其他點都是零，積分出來卻不是零這樣的性質，要是容許這樣的
函數存在，很多東西都會壞掉。
（但是搞數學的人為了補洞發展出來的「廣義函數」這套東西太麻煩，工程
和科學幾乎沒人用。）
所以，如果關於δ-function的性質有什麼看起來不太對勁的地方，請記得這
東西本身就已經是「不對」的了。
說了這麼多以後，我們來積這個積分吧。
首先我們來看週期 L 的週期性函數的 Fourier series。
令 f(x) = exp(ikx)， k 的值使得 f(x + L) = f(x)，則
~ +L/2
f_q = S dx exp(-iqx) f(x)
-L/2
（當然，q 的值也必須是 2 pi/ L 的倍數這樣。）
~
（注意 f 和一般的定義差了一個 1/L。我想讓這個積分看起來像 Fourier transform。）
這個積分就可以做了，算出來是
~
f_q = L if k = q = Lδ_(k,q)
0 otherwise
（Kronecker-δ這東西就是一和零嘛，數學上絕對沒有問題。）
下一步當然就是取 L --> ∞ 的極限了。
這裡我要反過來看，從對 q 的積分開始，然後把積分寫成 Riemann sum：
dq --> 2π/ L （兩個 q 值之間的差）
+∞ +∞
S dq --> ( 2π/ L ) Σ (Riemann sum)
-∞ n = -∞
所以：
δ(q - k) --> ( L / 2π) δ_(q,k)
通通放在一起：
+L/2
lim S dx exp[-i (w-a) x] = lim L δ_(w,a) = 2πδ(w-a)
L->∞ -L/2
這就是你要的答案。
再次重申：照著Fourier transform定義直接寫下來的那個積分嚴格來說沒有
意義、不存在。當然微積分也不會教你怎麼積。
要讓那個積分積得出來，就得要偷渡一點本來沒有的東西進去。
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◆ From: 123.110.184.241
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10/18 01:21, , 2F
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+∞
S dq f(q) δ(q - k) = f(k)
-∞
把這個對應到取極限之前，假如 δ(q - k) 是對應某個 c_(q, k)，則
+∞
( 2π/ L ) Σ f_q c_(q, k) = f_k
n = -∞
那你說這個 c_(q, k) 應該是什麼？
我發現我沒把delta-function的麻煩表達得很好。所以再來一次。
f(x) = 1/(1-x) 在 x = 1 是什麼？
g(x) = tan x 在 x = π/ 2 是什麼？
當我給你一個函數，在某個點上的「函數值」是無限大...嗯哼，這樣真的可以嗎？
當然這跟函數的定義有關。f 和 g 的值域也可以在 {R + ∞} 上面...
不過你還是得問，你正在處理的問題有沒有這種好康的？
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10/18 01:25, , 3F
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10/18 01:27, , 4F
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10/18 01:27, , 5F
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我同意。
但是我在這裡也的確偷渡了一些本來定義裡面沒有講，一般也不會認為理所當
然不用說的東西進去不是嗎？
一般工數跟嚴謹數學的差別就在於有沒有偷渡客，不知您以為然否？
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10/18 01:29, , 6F
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我聽說的是，一個很重要的動機是要把 Dirac delta-function 和他愉快的
夥伴們好好講清楚。絕對沒有說把洞補完就停了的意思。
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (10/18 02:03)
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10/18 01:34, , 7F
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10/18 01:36, , 8F
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※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (10/18 02:04)
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10/18 02:11, , 9F
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