Re: [中學] 資優數學題
※ 引述《silvermare (銀魍魘魅)》之銘言：
: ※ 引述《k32314282 (我只是打工的)》之銘言：
: : 題目出自某校數理資優班考題
: : a,b,c,d兩兩互質正整數，求一組(a,b,c,d)
: : 使得(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d)為整數。
: : 目前手邊沒有答案
: : 我自己只能呆呆的猜(1,1,1,1)
: : 但總覺得事情沒有那麼簡單= =
: : 請大大們解析
: : 謝謝
: 答案應該就(1,1,1,1)與(1,1,1,3)二組
: a,b,c,d兩兩互質，所以1/a+1/b+1/c+1/d通分後，分母是abcd且無法化簡
: (如果 p|a，則 p|(abc+abd+acd)，但是p不整除bcd。)
: (a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d)為整數，所以 abcd|(a+b+c+d)，
: 同時意味著 (a+b+c+d)>=abcd
: 這樣的組合很少，答案應該就上面二組。
不妨設 a≦b≦c≦d
由於對 x,y≧2 有 (x-1)(y-1)≧1 即 xy-x-y+1≧1 即 xy≧x+y 等號僅當 x=y=2 成立
故當 a≧2 時 abcd＞ab+cd≧a+b+c+d 矛盾
(ab 與 cd 顯然≧4 故第一個＞不會是≧)
故知 a = 1
若 b≧2 則 bcd≧2cd≧2(c+d)=c+c+d+d＞1+b+c+d 也矛盾 所以 b 也是 1
若 c≧3 則 cd≧3d=d+d+d≧3+c+d＞1+1+c+d 還是矛盾
若 c＝2 則有 2d|(4+d) 及 4+d≧2d 後者可得 d≦4
一一檢驗可得僅 d＝4 合 2d|(4+d) 但 c,d 不互質 又矛盾
所以 c＝1 同樣得到 d|(3+d) 這即是 d|3 因此 d = 1,3
於是所有解確實僅有 (1,1,1,1),(1,1,1,3) 及其排列
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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；
也有人喜歡邊聽歌邊打字。
但是，我有個請求，
選字的時候請專心好嗎？
-- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.41.19.119
※ 編輯: LPH66 來自: 114.41.19.119 (09/08 18:38)
※ 編輯: LPH66 來自: 114.41.19.119 (09/08 18:39)
推
09/08 22:13, , 1F
09/08 22:13, 1F
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