[分析] 1 + x + x^2 + ......

看板Math作者 (土狼)時間12年前 (2013/09/01 01:57), 編輯推噓6(6推 0噓 47→)
留言53則, 9人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
最近上課時遇到這個問題 因此想問一下 有一無窮函數 f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... 1. 當 |x| < 1 時 1 這個 open form 的型式可以寫成 ------- 的 close form 1 - x 對嗎？ 還是說有其他的限制？ 2. 當 |x| > 1 的時候 原函數有沒有辦法寫成 close form? 3. 在沒有寫成 close form 的情況下 原本的函數「感覺」可以逐項微分 而且並沒有 singularity 可是當改寫為 close form 之後 可微區域就只剩下 -1 < x < 1 想請問我這樣的理解是正確的嗎？ 還是說原本的函數其實可微區域也只有 -1 < x < 1 最後一個問題跟上面比較沒有相關 ix 當我解釋 e 的絕對值 = 1 的時候 學生曾經問我說「為什麼底數一定要是 e 呢？」 ix 雖然我有想過 e = cosx + isinx 可是這感覺有點像是用結果來回答結果 想請問有沒有更好的解釋方法 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.32.109.39
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09/01 02:07, , 1F
|x|>1時不收斂耶? |x|<1就是等比級數?
09/01 02:07, 1F
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09/01 02:08, , 2F
逐項微分當然要原本的函數存在 此外還有其他條件
09/01 02:08, 2F
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09/01 02:09, , 3F
原函數(若不以其他summability討論)定義的地方(-1,1)
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09/01 02:09, , 4F
最後一個可能要先問複數次方是什麼意思
09/01 02:09, 4F
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09/01 03:38, , 5F
|x| = 1 的時候級數發散啊。這就是singularity了。
09/01 03:38, 5F
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09/01 03:40, , 6F
「non-singular terms的和也是non-singular」這個定
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09/01 03:40, , 7F
理僅限於有限多項。
09/01 03:40, 7F
這裡有點不太懂 舉例來說 ∞ n 原函數可以寫成 Σ x n=0 ∞ n-1 逐項微分後的結果為 Σ nx 是存在的 n=1 (不過我並不是很確定能否微分) 因為在微分方程的級數解也是類似這樣的型式 同樣也是加到無窮多項的 x 冪級數 但在級數解時似乎就沒有特別注意 x 的定義域和可微分範圍 所以這個地方想問得清楚一點
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09/01 03:42, , 8F
第三個問題：複數次方是我們原來沒有的東西，所以這
09/01 03:42, 8F
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09/01 03:43, , 9F
需要新的定義。
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09/01 03:44, , 10F
然而我們希望新的定義跟舊有的實數次方不會衝突。
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09/01 03:45, , 11F
然後 exp(y + ix) = (cos x + i sin x) exp(y) 剛好
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09/01 03:46, , 12F
既漂亮又可以配合原來的實數次方定義。
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09/01 03:47, , 13F
所以底數為什麼是e？因為定義啊。
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09/01 07:04, , 14F
因為f(t)=exp(i.t)滿足微分方程f' - i .f = 0
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09/01 07:05, , 15F
所以假如把C看成R^2, <f, f>' = 2<f', f> = 0
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09/01 07:08, , 16F
其中< , >是標準的R^2 inner product
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09/01 07:09, , 17F
故|f| = <f, f>^{1/2}為常數=1
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09/01 07:17, , 18F
底數是假的, 你只知道根據定義exp逐項微分後=exp
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09/01 11:53, , 19F
2.如果你希望看到的是1/(1-x)在|x|>1時的級數長相
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你可以試試看用1/x當公比去寫個等比級數。
09/01 11:53, 20F
1 1 1 可是這樣子出來的是 1 + --- + ----- + ----- + ... x x^2 x^3 2 3 我原先希望知道的是 1 + x + x + x + ... 在 |x| > 1 的 close form 後來想想似乎不存在(因為不收斂)
推
09/01 16:09, , 21F
1.感覺是不是顛倒了阿，因為 1/(1-x) 在特定區間內
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09/01 16:09, , 22F
才能對特定點展開成無窮級數
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09/01 16:10, , 23F
所以展開 1/(1-x) 如果想要收斂範圍是 /x/>1 則會展
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09/01 16:10, , 24F
開成另一個級數
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09/01 16:56, , 25F
1那樣應該說另一件事? 有個函數的定義是這個無窮級數
09/01 16:56, 25F
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09/01 16:57, , 26F
(p.s.在特定區間內), 可以求出這函數f(x)=1/(1-x)
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09/01 16:57, , 27F
從1/(1-x)開始展開成級數是另一回事
09/01 16:57, 27F
推
09/02 00:52, , 28F
我認為在問一個函數的微分以前 要先把函數的定義域跟
09/02 00:52, 28F
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09/02 00:53, , 29F
值域搞清楚 請問一下|x|>1時 f(x)有定義嗎? 值域是?
09/02 00:53, 29F
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09/02 00:54, , 30F
打個比方 請問g(x)=1/x 在x=0的微分是多少? 能回答嗎
09/02 00:54, 30F
我認為是可以的 即使當 |x| > 1 時 ∞ n f(x) 依然可以寫成 Σ x n=0 定義域為 R 值域為 R 但它並不會收歛到一個定值(好像有點矛盾) 這跟您所打的比方我認為不盡相同 g(x) = 1/x 在 x = 0 的地方是沒有定義的 2 3 可是 f(x) = 1 + x + x + x + ... 即使在 |x| > 1 時也不會無定義 只是函數值發散到 ∞ 而已
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09/02 13:05, , 31F
R中沒有無限呀, 這樣不是一個function
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09/02 13:05, , 32F
而且常見的發散到∞定義不就是要多大有多大嗎
09/02 13:05, 32F
推
09/02 14:14, , 33F
你自己都說矛盾了XD 你還認為有定義嗎? 並不是寫得出
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09/02 14:15, , 34F
級數和的形式就叫做有定義好嗎? 請你想想看 當|x|>1
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09/02 14:17, , 35F
時 要怎麼找到一個函數值落在值域R裡? 請注意∞並不
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屬於R喔！ 就像1/0也不屬於R一樣
09/02 14:19, 36F
推
09/02 14:23, , 37F
簡單來說 以f(2)為例 任何實數r(屬於R) 都有f(2)=/=r
09/02 14:23, 37F
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09/02 14:23, , 38F
所以 當考慮值域為R時 f(x)在x=2這點是無定義的 因為
09/02 14:23, 38F
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09/02 14:24, , 39F
你根本無法在值域裡找到任何一個元素 能等於f(2)
09/02 14:24, 39F
所以您的意思是指 f(x) 的定義域只在 (-1,1) 值域為 (0.5,∞) 即使 f(x) 可以寫成一個多項式函數的形式 但它依然不是個函數囉 如果是這樣的話 我想知道的是 是不是只有能寫成 close form 型式的多項式級數 其定義域和值域才能和多項式函數一樣皆為 R 亦或者是有其他的判斷標準 而不需要每個都要用代值的方式來檢驗 比方說 1 1 1 1 ∞ x n g(x) = ----- = --- --------- = ---Σ (---) 2-x 2 1 - x/2 2 n=0 2 此級數的收斂範圍為 (-2,2) 也同時是它的定義域 但這從 close form 來說比較容易看得出來 從級數方面則無法那麼直觀(也因為這只是很簡單的單項的和而已) 最後 當我知道 f(x) 的定義域和值域後 其可微區域是否就等於其定義域 這也是我一開始的問題 ※ 編輯: endlesschaos 來自: 114.32.109.39 (09/02 15:39)
推
09/02 16:28, , 40F
所以我們有收斂區間 這就是你要找的"定義域"
09/02 16:28, 40F
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09/02 22:46, , 41F
推樓上 "收斂區間" (然後一般這叫冪級數)
09/02 22:46, 41F
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09/02 22:46, , 42F
認給定一個級數, 我們可以想辦法判別其收斂區間
09/02 22:46, 42F
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09/02 22:47, , 43F
(例如可以用 root test), 在收斂區間內這個級數就
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09/02 22:47, , 44F
定義了一個函數 (say, f(x))
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09/02 22:52, , 45F
也可以去試著求出closed form
09/02 22:52, 45F
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09/02 22:53, , 46F
因為他是冪級數,有定理告訴我們在其收斂區間內(不含
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09/02 22:53, , 47F
端點)逐項微分, 一定會收斂到該函數 f 的微分
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09/02 22:53, , 48F
同時微分的收斂半徑不改變
09/02 22:53, 48F
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09/02 22:55, , 49F
也可以隨便寫不知道有沒有closed form的冪級數,其收
09/02 22:55, 49F
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09/02 22:56, , 50F
斂區間是整個R
09/02 22:56, 50F
推
09/02 22:59, , 51F
f是個函數啊 只是函數定義域是(-1,1)
09/02 22:59, 51F
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01/02 15:31, 7年前 , 52F
所以假如把C看成R^2 http://yofuk.com
01/02 15:31, 52F
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07/07 11:23, 6年前 , 53F
所以展開 1/(1-x https://noxiv.com
07/07 11:23, 53F
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