Re: [其他] 向量-正交基底

看板Math作者THEJOY (最後的演武)時間12年前 (2013/08/29 00:02)推噓13(13推 0噓 31→)

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寫在最前頭：功德文 again，因為今天又做壞事了QAQ 有錯誤或瑕疵的地方還請不吝指證， ============================================================================== 回憶一下高中的內積在|R^2上，若 x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2) 則 x 和 y 的內積為 x_1y_1+x_2y_2，符號上記作 <x, y> = x_1y_1+x_2y_2 |R^3以上太難，我們就跳過吧(反正你也沒問) 定義￣￣ 1. 正交(orthogonal) x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2) ε |R^2 若 <x, y> = 0，則我稱x與y正交 (x is orthogonal to y) 2. 正交集(orthogonal set) S = {x_1, x_2, ..., x_m} ㄈ |R^2 是一堆|R^2上的向量若<x_i, x_j> = 0 for all i =/=j，則我們稱S是|R^2上的正交集白話：S裡面任取兩條向量來內積都是0的話，則S是正交集 3. 正交基底(orthogonal basis) B = {x_1, x_2} ㄈ |R^2 若 B 是基底又是正交集，則我們稱B是|R^2上的一組正交基底 4. 單範正交基底、么正基底(orthonormal basis) B = {x_1, x_2} ㄈ |R^2 若 B 是正交基底且B裡面的向量之長度都是1，則則我們稱B是|R^2上的一組么正基底白話：定義講得夠白話了，我沒啥好補充的... 好了，有了上面這些寫給外國人看的數學定義，雖然可能會出現一些台灣人的符號，但我準備要用外國人的方式來解題囉~ ※ 引述《peterchen119 (PeterChen)》之銘言： : 題目：(1) R^2 (1,0) (0,1) 在上一篇有驗證過，{(1,0), (0,1)}是|R^2上的基底又 <(1,0), (0,1)> = 1*0+0*1 = 0 太棒了，內積是0，所以這個集合是正交集 ∴ 我們立馬得到，{(1,0), (0,1)}是|R^2上的正交基底，秒殺！ : (2) R^2 (1,0) (0,2) 猜想：{(1,0), (0,2)}是|R^2上的正交基底因此，必須驗證這組向量是基底又正交所以，接下來要驗證線性獨立、生成、正交共三件事驗證： 1) 線性獨立若ㄅ*(1,0)+ㄆ(0,2) = (0,0) => (ㄅ,ㄆ) = (0,0) => ㄅ=ㄆ=0 ∴ {(1,0), (0,2)} 是線性獨立的，水啦！！！ 2) 生成隨便給|R^2上的一組向量 (ㄅ,ㄆ) ε |R^2 因為 (ㄅ,ㄆ) = ㄅ*(1,0) + (ㄆ/2)*(0,2) ∴ {(1,0), (0,2)}是生成集，換句話說，span({(1,0), (0,2)}) = |R^2，太爽了！！ 3) 正交因為 <(1,0),(0,2)> = 1*0+0*2 = 0 ∴ {(1,0), (0,2)}是正交集，這麼好證的題目我以後證不出來怎麼辦啊QAQ ∴根據上述三個簡單又有點繁複的過程，{(1,0), (0,2)}是|R^2上的一組正交基底 : (3) R^2 (1,1) (1,-1) : (4) R^2 (1,1) (1,0) 這兩題跟上面的驗證法一樣，自己做做看，希望你不要跟我帶過的大學生一樣，講說回去自己驗證，卻都不驗證，只來討答案 : (5) R^2 {[1/2^(1/2)],[1/2^(1/2)]} {[1/2^(1/2)],[1/2^(1/2)]} 1/2^(1/2) = √2/2 根據經驗的累積(如果你跟我一樣很愛"動手做"這種簡單的題目的話) 我敢斷言，{(√2/2,√2/2), (√2/2,√2/2)}不是線性獨立線性相依：若ㄅ*(√2/2,√2/2)+ㄆ*(√2/2,√2/2) = 0 => ( √2/2(ㄅ+ㄆ), √2/2(ㄅ+ㄆ) ) = 0 => ㄅ+ㄆ = 0 雖然ㄅ, ㄆ都可能是0，但也有可能是ㄅ=1,ㄆ=-1 所以不符合線性獨立的定義(定義要求線性組合為零，則係數"必定"為零) 因此，{(√2/2,√2/2), (√2/2,√2/2)}是線性相依 ∴ {(√2/2,√2/2), (√2/2,√2/2)}不是正交基底 (這題也能透過驗證非正交來得到不是正交基底，這是你的功課！) : (6) R^2 (4,3) 上一篇文章的性質有提過，向量空間的維度定義成基底的個數上一篇文章亦提過，|R^2是2維的但{(4,3)}只有一個向量，故，{(4,3)}不是基底，因此，不可能是正交基底。 : 以上何者為正交基底？ : 答案：沒有 : 小弟的答案：(1),(5),(6)為正交基底 : 小弟的想法是：正交基底的定義：基底元素向量中，它的純量為1者為正交基底。你的想法根本就錯了，定義不這樣寫的 : 所以 (1) (1^2 + 0^2)^(1/2) = 1 : (0^2 + 1^2)^(1/2) = 1 : (5) [1/2^(1/2)]^2 + [1/2^(1/2)]^2 = 1 : (6) 第六題比較有問題， : 小弟的思考邏輯是 (4,3) = [4*(1,0) , 3*(0,1)] : 此題的基底元素是 (1,0) 與 (0,1) : 因此 (1^2 + 0^2)^(1/2) = 1 : (0^2 + 1^2)^(1/2) = 1 : 所以(6)也為正交基底 : ------------------------------------------------------------------------------ : 以上為小弟的觀念與計算邏輯方式， : 不知道是否正確，麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！給原po：你的文章提到： ========================================================================== 講句實話THEJOY 與 TassTW 寫出來的文章，您們確定有理解過才寫出來嗎？還是看著書本照本宣科，東抄抄西抄抄寫出來一些看不懂的東西。不好意思，不是有意得罪你們，我實話實講，你們確定有理解過嗎？有心教導他人，要把自己所懂的東西理解過的東西，簡單化與重點化講解給他人聽，而不是寫一大堆數學符號組成一篇自以為了不起的文章，你要寫去寫論文給外國人看好了，小弟程度不夠，只看得懂台灣人寫的東西。 ========================================================================== 電腦旁的書只有朋友寄放的「純愛塗鴉」跟最近買的「幻想商人」(好看，推薦一下) 我只是回憶學習線性代數時的記憶來寫note，這兩篇note都不算正式的數學敘述，我以為這種(對我而言並)不抽象的note對你來說堪用，很抱歉我錯了。最後，TassTW大幫你指證了那麼多錯誤，你卻一句「你要寫去寫論文給外國人看好了」先不談數學好不好，你是否該給TassTW大一點尊重和一聲道歉？你這樣的學習態度讓我想起高微課打P&D打到老師看著他打的學弟，不懂得尊重願意幫你導正錯誤的人，那有何資格要求別人尊重你？若你不能給TassTW大一聲道歉，那這篇就是小弟對你的最後一篇功德文了。 -- 功德有限，對象無限。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 27.147.44.60

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