Re: [中學] 兩無理數中間必有"有理數"
※ 引述《asynchronous (同步)》之銘言：
: ※ 引述《reterk (reterk)》之銘言：
: : 兩相異有理數之間必有"有理數" (取中點即可)
: : 兩相異有理數之間亦有"無理數" (取分點即可)
: : 那麼
: : 兩相異無理數之間必有"有理數"嗎？ 如何證明？
: : 兩相異無理數之間必有"無理數"嗎？ 如何證明？
: 只需要知道一個原理 正整數 N 可以到無限大
: 若 x, y 相異, 設 x < y
: 令 d = y - x > 0
: 一定可以找到正整數 n 使得 n > 1/d
: 則 ny - nx = nd > 1
: 所以 (nx, ny) 之中必有一整數, 設為 m, nx < m < ny
: 除以 n 則 x < m/n < y, 故 m/n 是 x, y 之間的有理數
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補充一下，相異實數之間必有無理數 (稱作無理數的稠密性) 的詳細證法
(W.Rudin 和 R.Bartle 的高微課本都是這樣證, 是一個標準的手法)
取相異實數 x, y 且 x < y. 在實數 x/√2 和 y/√2 之間,
可找到非零有理數 r 滿足
x/√2 < r < y/√2
也就是說, x < r√2 < y, 其中 r√2 是一個無理數.
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討論串 (同標題文章)
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