Re: [微積] 反函數
※ 引述《Koguei (摳龜)》之銘言：
: 標題: [微積] 反函數
: 時間: Sat Aug 3 11:22:51 2013
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: 題目如圖
: http://db.tt/H49YsnnC
: 不知道如何證明反函數，請高手幫忙。謝謝
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: ◆ From: 112.78.67.47
: 推 jacky7987 :證明遞增看看 08/03 11:47
: → BaBi :1-1 & onto 08/03 16:32
: → Koguei :謝謝 1.2 樓 :) 08/03 18:40
: 推 itai :需要onto嗎？ 08/03 22:06
: → itai :這個遞增非常容易證 08/03 22:06
: → Vulpix :要多說幾句話才能說明"嚴格遞增"吧 08/03 22:19
: → khara :幾乎恆正嗎？總之有限點就算碰到 0 也不妨。 08/04 05:28
: → khara :至於 onto 似乎一般不碰代數結構是不太關心的。 08/04 05:30
: → khara :反正一對一又連續，對過去的集合 I 必為區間形式 08/04 05:31
: → khara :忘了說，所對區間 I 下方邊界是 0，這也是顯然的。 08/04 05:38
: → Koguei :謝謝各位~ 我先證明f(x)的導數, 再當x>pi^3/8 時f'(x 08/05 22:39
: → Koguei :)>0。這樣就可以了嗎? 08/05 22:40
: 推 itai :f'(x)≧0，等於0的那些點要處理一下 08/06 00:57
抱歉！看一看發現我推文有誤。錯得很蠢。
乾脆把這題直接解掉算了：
1.
因 f'(x) > 0 presque partout（幾乎處處為正）
故知 f 必為嚴格遞增。
（如果要說明 f'(x) 在哪些點為 0 也是可以啦。）
又因對任意 n,
在 [ (π/2 + nπ)^3 , (5π/6 + nπ)^3 ] 內，
f'(x) > = 1/2，
故在 [(π/2 + nπ)^3 , (π/2 + (n+1)π)^3 ] 內，
∫ sin^2 ( t^ (1/3) ) dt > 1/2 * 區間長 > π/2
而 f((π/2 )^3 ) = 0，
故當 x → ∞ 時， f → ∞；同理x → –∞ 時， f → –∞ 。
（因為 x 很大可替換成 n 很大，正向與反向差負號而已。）
（所以結論是還是碰了 onto 了，f 是實數到實數的一對一，映成函數）
易知，存在 f^( –1)，亦為實數到實數之嚴格遞增函數。
2.
f^( –1) '(y) = 1 / f '(x) | y = f(x)
由於 f((π/2 )^3 ) = 0，
故知 f^( –1) (0) = (π/2 )^3
故f^( –1) '(0) = 1 / f '( (π/2 )^3 )
= 1 / sin^2 ( ((π/2 )^3)^(1/3) )
= 1 #
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Immer mit den einfachsten Beispielen anfangen.
David Hilbert
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08/08 08:22, , 1F
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08/08 12:42, , 2F
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