Re: [線代] 若對於所有的方陣，矩陣相乘可交換...

看板Math作者 (prof)時間12年前 (2013/08/02 22:00), 編輯推噓1(1推 0噓 5→)
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※ 引述《ilmvm0679 (映雪)》之銘言： : 如果對於所有的方陣，矩陣相乘都可以交換，即 : AB=BA for all 同階方陣B : 為什麼A一定要是單位矩陣的常數倍？(印象中有在書上看到這個結果) : 請問要如何證明？謝謝。 剛才稍微想了下可能不用想太複雜 因為B是任意矩陣都要成立 例如我考慮 AB(1,1)=A11*B11+A12*B21+A13*B31... =BA(1,1)=A11*B11+A31*B13+A31*B13... 如果今天你A12,A13...A21,A31這些東西不等於0的話 就算上面等式成立了我隨便動一下B(因為B是任意矩陣)等式又不成立了... 所以唯一可能就只能讓A12,A13...A21,A31這些東西等於0等式才會恆成立 所以就是A(i,j)=0 if i=/=j 再來考慮 AB(2,1)=A21*B11+A22*B21+A23*B31+... =BA(2,1)=B21*A11+B22*A21+B23*A31+... 因為前面證明A(i,j)=0 if i=/=j 故 上面可以得到A22*B21=B21*A11 B21是任意數所以A22=A11,同理可證其他的==>A(i,i)=A(j,j) for i=/=j 因此你的命題是對的 A必須是單位矩陣乘以一個常數 有錯請指證@@ -- 如果我們要把磁鐵棒放進線圈， 　 線圈會說「不!!不要過來!!」而發出阻力不讓磁鐵棒靠近。 但是如果我們要把放進去的磁鐵棒從線圈拿走，　　　　　　　　 「傲嬌是一種 線圈反而會說「我…我又沒有叫你走!!」而發出阻力不讓磁鐵棒離開= =　　自然現象」 這種現象不就是傲嬌嗎！！！　　　　　　　　　　　　　　　　　 新科科人雜誌 所以傲嬌這東西根本不是新梗，19世紀就有科學家發現傲嬌了！　　　　　／民明書房 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.169.177.211
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08/02 22:03, , 1F
我證明的方式是得出A=某數 * I 他的命題沒有錯
08/02 22:03, 1F
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08/02 22:04, , 2F
我對他命題的理解是:If AB=BA for any B, then A=kI
08/02 22:04, 2F
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08/02 22:05, , 3F
但1F你的證明好像是If A=kI, then AB=BA for any B
08/02 22:05, 3F
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08/02 22:07, , 4F
我的證明中在一開始沒有給A_ij任何限制
08/02 22:07, 4F
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08/02 22:10, , 5F
等等 我這證明還少一個步驟 他的命題應該是對的
08/02 22:10, 5F
※ 編輯: profyang 來自: 1.169.177.211 (08/02 22:15)
推
08/02 23:55, , 6F
謝謝p大～ :)))
08/02 23:55, 6F
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