Re: [線代] 對稱矩陣證明

看板Math作者 (希望願望成真)時間12年前 (2013/08/01 08:56), 編輯推噓7(7推 0噓 34→)
留言41則, 8人參與, 6年前最新討論串2/3 (看更多)
※ 引述《musicbox810 (結束是一種開始)》之銘言： : 我遇到一個對稱矩陣的證明 : 結果看起來很合理 : 但是我不知道該怎麼證明 : n*n對稱矩陣A,已知其對角線元素為不為零的數λ_1,λ_2,...λ_n : 其逆矩陣A^-1的對角線元素為1/λ_1, 1/λ_2,...1/λ_n : 證明A的非對角線元素皆為0 : 這個結果好像很理所當然 : 可是我不知道怎麼證...... : 拜託強者幫忙解答 : 萬分感謝 A = Q D Q^T A^(-1) = Q D^(-1) Q^T D = diag[λ_1,λ_2,...λ_n] 這裡的λ和musicbox810的不同 D^(-1) = diag[1/λ_1, 1/λ_2,... 1/λ_n] Q正交矩陣具有Σ(Q_pi)^2 = 1 i 對於每一個p = 1 ~ n [A]_pp [A^(-1)]_pp = 1 = Σ[(Q_pi)(Q_pi)λ_i]Σ[(Q_pj)(Q_pj)(1/λ_j)] i j 考慮正定矩陣 Cauchy Inequality Σ[(Q_pi)(Q_pi)λ_i]Σ[(Q_pj)(Q_pj)(1/λ_j)] i j >= [Σ(Q_pi)^2]^2 = 1 i 因為在滿足Q的本身限制之下 Σ[(Q_pi)(Q_pi)λ_i]Σ[(Q_pj)(Q_pj)(1/λ_j)]為最小值=1 i j 所以 (Q_pi)√(λ_i) = C_p(Q_pi)[1/√(λ_i)] for and all i 因為Σ(Q_pi)^2 = 1 i 不可能Q_pi ＝ 0 for all i (Q_pi)(λ_i) = C_p(Q_pi) For p =/= q, A_pq = Σ(Q_pi)(Q_qj)(λ_i)(δ_ij) = ΣC_p(Q_pi)(Q_qi)(δ_ij) i,j i,j = C_p Σ(Q_pi)(Q_qi) i = 0 QED -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 128.220.147.97
推
08/01 09:27, , 1F
題目的意思應該不是D是λ_1到λ_n 而是A的對角線吧
08/01 09:27, 1F
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08/01 09:37, , 2F
從D就能推出他要的結果
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推
08/01 09:38, , 3F
喔喔 看到一樣符號會覺得怪怪XD
08/01 09:38, 3F
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08/01 09:40, , 4F
原來你是指這個 那我這篇最好所有λ加個'變成λ'
08/01 09:40, 4F
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08/01 09:41, , 5F
這樣才比較不會讓人混淆
08/01 09:41, 5F
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08/01 09:42, , 6F
不過其實最後有沒有加是沒差的
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推
08/01 09:42, , 7F
是阿 因為結論就是要說明A就是D
08/01 09:42, 7F
推
08/01 09:44, , 8F
不過我還是不太懂說為什麼[A]*[A]^(-1)的對角線那行
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08/01 09:44, , 9F
怎麼推到eigenvalue都一樣的
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推
08/01 10:09, , 10F
哇 結果有點超出想像 感謝Honor大 我研究一下
08/01 10:09, 10F
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08/01 10:10, , 11F
這怪怪的@@||| eigenvalue可以不一樣啊
08/01 10:10, 11F
推
08/01 10:20, , 12F
這錯的吧 => λ_1 = λ_2 = ... = λ_n 這邊不對
08/01 10:20, 12F
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08/01 11:24, , 13F
我也覺得怪怪的 我改一下 請板友再幫忙看一下 謝謝
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※ 編輯: Honor1984 來自: 128.220.159.5 (08/01 11:34)
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08/01 11:55, , 14F
有一個細節還要再補 晚一點想一下
08/01 11:55, 14F
請板友再幫我檢查一下有沒有什麼錯誤 謝謝 ※ 編輯: Honor1984 來自: 128.220.144.133 (08/01 17:52)
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08/01 17:57, , 15F
用多次Lagrange Multiplier應該也可以 但是太麻煩了
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08/01 17:57, , 16F
做了一半而已 對於要考慮進去所有正交情況 我沒有做
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08/01 17:58, , 17F
如果有人常識過 也歡迎補充
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看起來好極了。不過，特徵值不正的時候該怎麼辦？
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08/01 17:59, , 19F
昨天嘗試著硬爆，發現好像可以爆，可是找不到一個
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08/01 18:00, , 20F
通用的解法...
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08/01 18:04, , 21F
如果是負定的話 就類似作法 如果有正有負 目前沒想過
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08/01 18:05, , 22F
我覺得很像跟那種凸函數有點關係 其實我不很滿意這證
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08/01 18:05, , 23F
法 希望能用純代數 不過謝謝V大幫我循一遍
08/01 18:05, 23F
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08/01 18:06, , 24F
就是有a_1x_1 + a_2x_2 + ...但是a_i可正可負 沒研究
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08/01 18:09, , 25F
如果非正定負定 原po的論述依然正確嗎?
08/01 18:09, 25F
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08/01 18:09, , 26F
柯西不等式對凹凸這種事情要求很高的啊...
08/01 18:09, 26F
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08/01 18:10, , 27F
嗯，應該是正確的，我硬爆了二、三階的都正確。
08/01 18:10, 27F
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08/01 18:11, , 28F
四階正在嘗試，感覺只要觀察四階應該就能找到通解...
08/01 18:11, 28F
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08/01 18:12, , 29F
強 很有毅力 能夠看出端倪也不容易 找到的話貼文吧
08/01 18:12, 29F
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08/01 18:13, , 30F
我先去休息了 為了這個折騰了一陣子
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推
08/02 00:17, , 31F
從A^-1=U^+ D U 不就知道U可以是I，然後得證嗎？
08/02 00:17, 31F
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08/02 00:18, , 32F
啊，我搞錯了...orz
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08/02 13:12, , 33F
愈來愈不放心了...n條方程式要解n(n-1)/2個變數...
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08/02 13:13, , 34F
雖然不是整個 |R^n(n-1)/2 上，有挖掉一些hypersurf.
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※ 編輯: Honor1984 來自: 128.220.147.173 (08/02 18:37)
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08/02 18:38, , 35F
就算給定一個Q也能夠造出無限多個具有本論述性質的A
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08/02 18:40, , 36F
可以選擇很多組λ滿足這種情況 相當於把多餘自由度
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08/02 18:40, , 37F
給定下來
08/02 18:40, 37F
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08/02 20:58, , 38F
嗯...我不是對你的不放心，我是對我硬爆不放心...
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11/10 12:05, , 39F
如果是負定的話 就類似 https://noxiv.com
11/10 12:05, 39F
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01/02 15:29, 7年前 , 40F
我先去休息了 為了這個 https://noxiv.com
01/02 15:29, 40F
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07/07 11:18, 6年前 , 41F
我也覺得怪怪的 我改一 https://moxox.com
07/07 11:18, 41F
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