Re: [微積] 有關實數集不可數的証明
※ 引述《simonjen (狂)》之銘言：
: ※ 引述《jas0205 (無名)》之銘言：
: 首先你要發現這是一個反證法。
: 前提是如果存在一個函數是一對一函數並將一個可數集合對應到全部的實數。
: : 有關 diagonal process 證明
: : 如果實數集在(0.1)可數 則可表列其元素為x1.x2.x3....
: : 假設x1=0.a11a12a13a14.....
: : x2=0.a21a22a23a24.....
: : x3=0.a31a32a33a34.....
: 這裡就是說明可數集合的對應狀況。
: : 令 y=0.b1b2b3b4....
: : b_n= 5 if a_n !=5
: : 6 if a_n =5
: : 則 y != x_n for all n contradition!
: : 我想問的是現在y != x_n 那我還可以在比 x_(n+1)又不相等 可以在比下個數
: : 這樣不是永遠比不完嗎 如果比較不完我們怎麼可以說y絕對不會等於其中一個x
: 這裡就出現了不存在這樣的一個一對一函數將可數集合對應到實數集合的結論。
其實你說的永遠比不完是不會的
這裡我們要說得事情, 正是「y跟裡面任何一個 xn 都不相等」
這樣會得到矛盾然後證出 |R 不可數
但我們事實上不用一個一個比
為什麼呢? 如果說 y 沒有跟裡面任何一個 xn 都不相等,
就是跟某個確實的 xm 不相等
(i.e. 存在 xm 使 y != xm)
但是我們知道藉由 y 的選法, 在第 m 位時 y 跟 xm 那一位一定不同
而且因為我們都是選 5 或是 6, 不會造成 0.abcd9999999 循環進位的情形
所以 y 跟 xm 那一位不同, 一定就代表他們不同. 這矛盾了.
所以 y 一定跟任何一個 xn 都不相等
注意到了嗎? 這裡無論是不是一個一個比都沒關係
這裡我們的確不是一個一個比
但是有的證明也是可以一個一個比 (例如有的證明可能使用歸納法)
所有數字都至少會被比到, 這樣就沒有問題
(確切地說的話, 對於你任意舉出來的一個數字, 我們要知道至少某個時候他會被比到)
跟下面那段論述不一樣的.
: : 可是這個證明這樣說好像我們可以一一比較完
: : 如果可以這樣比完的話 那我下面這段論述應該也可以成立吧
: : 令 N 為自然數的集合 則 A = N/{1} 一定比N少了一個元素
: 其實並不會，因為你可以用一個一對一函數F(N) = N+1 把 N 全面性的映射到A上
: 這樣理解上應該是A的個數會多於或是等於N的個數。
: : 因為 我們可以把A中第一個元素2 對應到N的2 3對應到3
: : 依此類推 A中的n永遠可對應到N中的n 且後面全部數字都會被對完
: : 但N中的1卻永遠不會被對到 所以N比A多了一個元素
: : 這裡有點搞混了卻不知道怎麼解釋
: 去比較兩個集合的大小使用的是"存在"一個一對一函數為映成函數，
: 並非是對於"所有的"一對一函數都是映成成函數。
所以套在這個證明的意思其實就是說
1.若 |R 可數, 則一定存在那個函數把兩集合對應起來
2.我們的命題是: |R 不可數
這裡等價於證明 |R可數 -> 矛盾
3.所以我們現在的前提是: |R可數
可以假設那個函數 f : N -> R 的存在
藉由那個 f, 我們把他對出 x1, x2, x3, ... 這樣列下去
確切的意思其實就是說
f(1) = 0.a1...
f(2) = 0.a2...
f(3) = 0.a3...
4.然後我們造出了一個 y. 這個y跟所有的xn都不相等,
換句話說, 對於任何自然數 n, f(n)都不等於y!
這與 f 是 onto 的假設矛盾了
所以命題 |R可數->矛盾 成立
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