Re: [機統] 高中數學的最小平方法

看板Math作者yhliu (老怪物)時間12年前 (2013/07/02 17:56)推噓1(1推 0噓 13→)

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※ 引述《s8911409 (~堯)》之銘言： : 最近在備教案時想到一個問題,因為自己的機統背景很弱,過去高中都是背公式不太懂原理 : 故想來請教板上朋友們: : 高中教材中我們在講迴歸直線所用到最小平方法是討論樣本點y與最適直線的殘差平方和 : 那是不是我們今天也可以把y當成常數,把x當成變數去推導迴歸直線的公式? : 而且我還有想到,如果殘差是用點到直線的距離,進一步求最小平方,那麼 : 各點盡量滿足與迴歸直線有最小值,方法上不是會來的比較好嗎? : ps.我覺得這一單元真的不好教,很多公式推導對高中生不易理解,如果有先學過微分還好 : 不曉得有家教經驗或學校實際授課經驗的老師們,你們是怎麼幫學生上這一章節呢? : (二維數據的分析),還是,對於高中生的理解範圍內,大多只能先硬背公式,會用就好? 配適 "迴歸直線" 的準則, 以 "最小平方準則" 結果最簡單. 它的觀念也很簡單, y 與 x 的關係不是簡單的 y = α+βx, 而是 y = α+βx+ε. 以樣本資料來講, 是 y_i = α + βx_i + ε_i 因此, 要估計 α, β 自然而然地想到找讓 Σ(y_i-α-βx_i)^2 最小的 α, β, 因為那樣就像是希望 Σ(ε_i)^2 最小. 至於最後計算 α, β 估計值 a, b 的公式, 也不一定要用微積分! 因為 Σw_i(y_i-A)^2 = Σw_iy_i^2-2AΣw_iy_i+A^2Σw_i 是 A 的二次函數, 使它最小的 A 是 A = Σ(w_i y_i)/Σw_i 利用上列結果, 使 Σ(y_i-a-bx_i)^2 最小: 固定 b 時, 是 a = Σ(y_i-b x_i)/n = ybar - b*xbar, 或滿足方程式 Σy_i = na + bΣx_i 固定 a, 則使 Σ(y_i-a-bx_i)^2 = Σ(x_i)^2[(y_i-a)/x_i-b]^2 最小的 b 是 b = Σ[(x_i)^2(y_i-a)/x_i]/Σ(x_i)^2 = Σx_i(y_i-a)/Σ(x_i)^2 或滿足方程式 Σx_i y_i = aΣx_i + bΣ(x_i)^2. 解二元聯立方程式 Σy_i = na + bΣx_i Σx_i y_i = aΣx_i + bΣ(x_i)^2 只是國中的小練習而已. 對 "向量" 熟悉, 而且能了解 "n 維空間向量" 者, 還可以把最小平方法看成是資料向量向一個子空間 (二維平面) 做垂直投影. 不過, 這可能比用微分更難理解吧? -- 來自統計專業的召喚... 成大計中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (統計方法及學理討論區) 盈月與繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (統計：讓數字說話) 交大資訊次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率) <<<>>> 把自己當成別人。把別人當成自己。把別人當成別人。把自己當成自己 <<<>>> -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.252.123.113

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