Re: [分析] 台大考古題一問

看板Math作者 (scrya)時間12年前 (2013/05/15 15:11), 11年前編輯推噓5(5推 0噓 25→)
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※ 引述《subtropical (風大雨大)》之銘言： : I = (a,b) -inf < a < 0 < b < inf : f 可微 證下列兩者相等 : 1.f'(x) = f(x) : 2.f(x) = f(0)*exp(x) 1 => 2 用分離變數法: 1 ∫ ------ f'(x) dx = ∫dx f(x) ln f(x) = x + ln C => f(x) = C exp(x) f(0) = C exp(0) = C So, f(x) = f(0)*exp(x) 2 => 1 因為可微 d f'(x) = f(0) ---exp(x) = f(0) exp(x) = f(x) dx 應該這樣就可以了吧 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
推
05/15 15:17, , 1F
嚴謹來說1=>2不能這樣 因為f(x)可能為0
05/15 15:17, 1F
→
05/15 15:17, , 2F
同乘積分因子才沒有瑕疵
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05/15 15:31, , 3F
我當初看就覺得為何要乘積分因子這麼複雜,現在懂了
05/15 15:31, 3F
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05/15 15:33, , 4F
那如果硬是討論f(x)=0和不為0的情況討論呢?
05/15 15:33, 4F
推
05/15 15:50, , 5F
我討論過 也很複雜 因為f=/=0 有兩種
05/15 15:50, 5F
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05/15 15:50, , 6F
一種是f恆不為0，則根據f連續，不是恆正就是恆負
05/15 15:50, 6F
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05/15 15:51, , 7F
這case簡單，但是如果是另一種：存在一點a使得f(a)=0
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05/15 15:51, , 8F
也不知道有幾個a 很複雜
05/15 15:51, 8F
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05/15 15:52, , 9F
其實有另外一個方法，ODE的存在唯一性定理，不同兩解
05/15 15:52, 9F
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05/15 15:52, , 10F
不是完全相等就是不相交
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05/15 15:53, , 11F
而因為f(x)=0(零解) 是f'=f的解
05/15 15:53, 11F
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05/15 15:53, , 12F
所以根據存在唯一性定理 如果f(0)=/=0
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05/15 15:54, , 13F
則f(x)不是恆大於零就是恆小於零
05/15 15:54, 13F
推
05/15 15:58, , 14F
來玩玩看吧，假設{f=0}的元素超過一個。
05/15 15:58, 14F
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05/15 15:59, , 15F
叫他們a,b 那麼f這個連續函數在[a,b]上有最大值
05/15 15:59, 15F
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05/15 16:00, , 16F
又因為f可微,所以在f最大時,一定f'=0. 所以此時f=0.
05/15 16:00, 16F
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05/15 16:00, , 17F
同理可知,f在[a,b]上最小值也是0. 所以f=0 on[a,b].
05/15 16:00, 17F
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05/15 16:02, , 18F
更正一下樓樓樓上: 叫其中兩個a,b
05/15 16:02, 18F
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05/15 16:03, , 19F
那到底何種情形下可以用分離變數法??
05/15 16:03, 19F
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05/15 16:07, , 20F
我個人認為分離變數法是很準確地猜答案用的XD
05/15 16:07, 20F
推
05/15 16:08, , 21F
推猜答案XDD
05/15 16:08, 21F
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05/15 16:13, , 22F
然後有沒有可以f有0又有不是0的時候呢？
05/15 16:13, 22F
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05/15 16:13, , 23F
答案當然是否定的，來做做看吧。
05/15 16:13, 23F
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05/15 16:14, , 24F
f(a)=0,f(b)!=0. 那至少在b附近，f(x)=f(b)exp(x-b)
05/15 16:14, 24F
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05/15 16:16, , 25F
然後我們發現想要讓f(b)不是0就會讓我們的解一路解到
05/15 16:16, 25F
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05/15 16:18, , 26F
整個|R上,而且完全沒辦法找到那個a...|||
05/15 16:18, 26F
推
05/15 21:12, , 27F
猜答案可以XD
05/15 21:12, 27F
※ 編輯: yueayase (36.236.229.213), 03/20/2015 21:50:44
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11/10 11:48, , 28F
叫他們a,b 那麼f https://muxiv.com
11/10 11:48, 28F
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01/02 15:24, 7年前 , 29F
同乘積分因子才沒有瑕疵 https://muxiv.com
01/02 15:24, 29F
→
07/07 11:01, 6年前 , 30F
則f(x)不是恆大於零 https://moxox.com
07/07 11:01, 30F
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