Re: [微積] sinθ→θ when θ small
來賺一點p幣這樣...
※ 引述《callingfrom (白爛豬)》之銘言：
: => lim (sinx-xcosx) / (x^3cosx)
: x→0
: => lim (x-xcosx) / (x^3cosx) [sinθ→θ when θ small]
: x→0
問題出在這一步。
首先，完整的泰勒級數：
sin x = x - 1/6 x^3 + ...
cos x = 1 - 1/2 x^2 + ...
sin x --> x 這樣子代表你捨去 x^3 以上的各項。
但是捨去的時候不能只挑你不喜歡的項丟掉。如果你丟掉 sin x 下面的各項，
cos x 相應的部分也要一起丟才公平。
那麼，我們來看你的第二行 (x - x cos x) 這個東西。它當然不是零，不過它
當然也很小：
x - x cos x = x (1 - cos x)
= x [ 1 - ( 1 - 1/2 x^2 + ... ) ]
= 1/2 x^3 + ...
可是！當你說 sin x --> x 的時候，你已經丟掉了一個 x^3 項。你丟掉的東
西跟留下來的東西差不多大，這樣的計算怎麼會準？
要是你用
sin x --> x - 1/6 x^3;
cos x --> 1 - 1/2 x^2
捨去 x^4 以上的項，出來的答案就對了。自己試試看。
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04/06 21:17, , 1F
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我根本還沒去管到分母啊。上面完全只是「分子不能直接取成零」這樣而已。
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.172.237 (04/06 23:10)
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