[微積] sinθ→θ when θ small

看板Math作者 (白爛豬)時間12年前 (2013/04/06 20:41), 編輯推噓5(5推 0噓 31→)
留言36則, 9人參與, 6年前最新討論串1/4 (看更多)
lim (tanx-x) / x^3 x→0 這一題如果用sinθ→θ when θ small的觀念來做的話︰ => lim ((sinx/cosx)-x) / x^3 x→0 => lim (sinx-xcosx) / (x^3cosx) x→0 => lim (x-xcosx) / (x^3cosx) [sinθ→θ when θ small] x→0 => lim (1-cosx) / (x^2cosx) x→0 => lim [(1-cosx)(1+cosx)] / [(x^2cosx)(1+cosx)) x→0 => lim (sinx)^2 / [(x^2cosx)(1+cosx)] x→0 => lim x^2 / [(x^2cosx)(1+cosx)] [sinθ→θ when θ small] x→0 => lim 1 / [(cosx)(1+cosx)] = 1/2 x→0 但用 L'Hospital Rule來作這一題答案是 1/3 (正解)。 不知道上面哪個步驟小弟的觀念代錯了。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 175.180.168.172
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04/06 20:45, , 1F
你應該先想 為什麼sinx接近x when x is small
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04/06 20:46, , 2F
算極限羅必達 不能只簡話自己想簡化的步驟
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04/06 20:47, , 3F
你第三個=> : 為何只換掉sinx但留下cosx ?
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04/06 20:48, , 4F
這題用泰勒就夠了
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04/06 20:49, , 5F
因為cosx沒有這樣的性質
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04/06 20:50, , 6F
要取極限就一起取,不能個別取
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cosx接近0 when x is small
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04/06 20:50, , 8F
回答C大我是想釐清這個觀念為什麼我會使用錯誤
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04/06 20:53, , 9F
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04/06 20:54, , 10F
可以參考交大莊重老師的講義
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04/06 20:54, , 11F
會比較清楚小弟想問什麼
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推
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sin x 靠近 x 有三階誤差
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承上 說sinx接近x這部分沒錯 但這只是"接近"
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你應該要知道 這個接近的誤差有多少
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尤其你在算這極限的時候 這個小小的差距 會影響答案
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特別是做減法時, 那個誤差就會不再是「小小的」了
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推
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sin x 更接近 x - x^3/6，第二個箭頭那行到第三個箭
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頭以這個方式代換的話答案就會再減1/6。簡單來說極限
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那講義例題為什麼可以直接替換？
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是不能這樣用這種方式運算的
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呃... 這樣寫並不是好的示範
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講義應該寫 lim(sin3x/x) = lim (sin3x/(3x) * 3)
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所解分式型的極限最保險的方法還是L'Hospital Rule囉
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Ex1:sin3x/x=3x/x*(sin3x/3x) 分開取極限=3*1
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他只是簡化步驟而已
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推
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通常說sin(x)→x的用法來自 lim sin(x)/x = 1, x→0
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04/06 21:08, , 27F
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-.., x後面還有其他項
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推
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這過程的寫法會誤導，不能寫成一副sinx用x代換掉
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推
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換個題目 你想想算lim[(sinx-x)/x^3]會發生什麼事
04/06 21:12, 29F
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04/06 21:14, , 30F
感謝各位先進回答 L'Hospital Rule似乎是比較穩健的
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04/06 21:14, , 31F
作法
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08/13 17:33, , 32F
//tinyurl.c https://noxiv.com
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09/17 15:26, , 33F
回答C大我是想釐清這個 https://daxiv.com
09/17 15:26, 33F
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11/10 11:37, , 34F
承上 說sinx接近x https://daxiv.com
11/10 11:37, 34F
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01/02 15:20, 7年前 , 35F
頭以這個方式代換的話答 https://noxiv.com
01/02 15:20, 35F
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07/07 10:50, 6年前 , 36F
尤其你在算這極限的時候 https://muxiv.com
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