Re: [微積] 2x^2+3x-1=0 對 x 微分 是啥
※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: 標題這樣寫大家一定感覺像在鬧板 XD 為了吸引觀眾啊..
: 最近在讀梯度時觀念上有一處很模糊, 再扯梯度之前, 先提一下他處的問題,
: 最後一路類比到梯度, 把我的梯度的疑問提出來. 請大家有點耐心.
: 我們說有一函數 f(x)=2x^2+3x+1, 可以對它取導函數,
: df(x)
: ----- = 4x+3 ,
: dx
: 但是我們有對 2x^2+3x+1 =0 取導函數的說法嗎？
沒有
: 前者是對 y=f(x)=2x^2+3x+1 取導函數 , 後者是 2x^2+3x+1=0, 感覺後者的說法很怪.
: 暫時跳開一下, 我們說,
: x=6, 可以左右一起加上一個常數9, 得 x+9=6+9,
: 嗯, 沒問題, x也還是原來的解沒有增根
: x=6, 可以兩邊平方，得x^2=36,
: 嗯, 也沒問題, 但是x除了原本的6之外，還增根了，增了一個根，叫作-6
: 所以 x=6, 左右兩邊一起平方, 得 x^2=36 <=> x = ±６
: 這裡的兩邊平方是什麼意思？感覺就不是像等量加法公理、乘法公理那麼嚴謹
: 數學界好像也沒有相關的理論仔細討論這等號左右兩邊一起「平方」或幹嘛幹嘛
: 是什麼意思. 我自己是解釋成 左右兩邊(x與6)一起代進函數f(x)=x^2 這樣.
: 好的, 回到 2x^2+3x+1=0, 左右兩邊一起對 x 微分(同取 d/dx)
: 得:
: 2
: 2x + 3x + 1 = 0
: d d
: ==> --- (2x^2 + 3x +1) = ---- (0) <===> 4x+3 =0
: dx dx
2x^2+3x+1=0不是函數。
: 這個「左右兩邊同時blah blah blah」之下, 可以看出原本方程式的解為 -0.5/-1
: 可是左右兩邊一起同時對 x 微分之後,
: x 增根嗎？ 不，沒有
: x 減根嗎？ 對
: 更誇張的是, x 連保有原來的解 x=-0.5/-1 都不了, 面目全非, 變成 x=-0.75
: 可見這對左右兩邊同時怎樣怎樣怎樣的動作做起來有風險，
: 有些高中題目, 指對數方程式解不出來, 就左右兩邊同取 log, 讓某些指數掉下來,
: 以解方程式. 在那時候我們都不會有什麼懷疑，覺得：「左=右」，
: 左右兩邊同時平方、同時開根號、同時取log、同時取自然指數為底...有什麼問題呢？
: 左右兩邊同取log, 解出來的x是誰就是誰啊.. 還有疑問嗎？
: 可是微分在這裡就不然。他會把你的 x 的解完全搞得面目全非。
: 第一個問題是，為什麼會有這麼奇怪的現象？
: 第二個問題就是梯度了，
: z = f(x,y) = 3x^2 + 2xy + y^2, 這大家都會算梯度,
: 算出來是二維向量 ▽f(x,y), 唯一
: 可是這裡也可以寫成, F(x,y,z) = z-f(x,y) = z- 3x^2 -2xy -y^2 =0
你把函數的梯度跟z=f(x,y)定義出來的曲面的法向量搞混了
當你的函數給定了，梯度就決定了。
: 原文書課本說, 這樣也可以求梯度 ▽f(x,y,z)
: 這樣求出來的梯度, 似乎不是唯一的
三維空間中，曲面的法向量不唯一。
: 因為誰跟你說一定要寫成 z-3x^2-2xy-y^2 = 0?
: 我也可以寫成 3z-9x^2-6xy-3y^2=0, 還是同一個三度空間圖形啊,
這兩個方程決定了相同的曲面。
: 因此▽f(x,y,z)就會完全是另一個向量了, 在點(1,2,11)的梯度也不唯一,
你講的是曲面在(1,2,11)的法向量不唯一。
: 請問這批梯度有什麼關係？原文書好像沒強調耶.
因為曲面的法向量可以由其定義的函數的梯度計算得出
: 即: z=f(x,y)=3x^2+5xy-6y^2 在二維的梯度是唯一，在三維的梯度是不唯一？
: 這麼重要的東西原文書居然沒寫 @@
: 另外就是梯度▽f(x,y,z)垂直level surface f(x,y,z)=0 的證明過程中,
: 就是用到我說的左右兩邊同對某變數取導函數的推導過程來證明,
: 為什麼不會有問題啊...冏
: 包括向量函數 r(t) dot r(t)= 常數 => r(t)垂直r'(t) 的證明過程也都這樣用.
: 有板上高手可以順便證明一下嗎？或者指出為什麼在那種地方的證明過程中,
: 有一步是f(t)=0, 用了「左右兩邊同取對t的導函數」, 結果之後等號左右兩邊的t跟原本
: 是同一批解幾合.
: 多謝。
假設S是由z=f(x,y)定義出來在R^3中的曲面。曲面的法向量N指的是:
如果v是曲面S在某p點的切向量，那麼法向量N(p)垂直於v。
所以固定一點p，曲面S在p點的法向量N(p)就是所有與平面S上p點的切向量垂直的向量。
如果(x(t),y(t),z(t))是曲面上通過p=(x(0),y(0),z(0))的曲線。那麼
v=(x'(0),y'(0),z'(0))就是一個曲面上p點的切向量。因為曲線在S上，
z(t)=f(x(t),y(t)).
兩邊同時微分之後帶0，可以得到
z'(0)=f_x(p)x'(0)+f_y(p)y'(0)
換句話說(x'(0),y'(0),z'(0))*(f_x(p),f_y(p),-1)=0.
由於曲線是曲面上任意給定的我們發現N(p)=(f_x(p),f_y(p),-1)為曲面上p點的
的一個法向量。(內積等於零就是垂直)
如果你寫F(x,y,z)=f(x,y)-z，那麼N(p)就是F在p點的梯度。(不是f在p點的梯度)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 109.65.23.107
※ 編輯: herstein 來自: 109.65.23.107 (04/05 20:34)
→
04/05 20:59, , 1F
04/05 20:59, 1F
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 3 篇)：