[微積] 2x^2+3x-1=0 對 x 微分是啥

看板Math作者alfadick (悟道修行者)時間11年前 (2013/04/05 17:23)推噓6(6推 0噓 48→)

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標題這樣寫大家一定感覺像在鬧板 XD 為了吸引觀眾啊.. 最近在讀梯度時觀念上有一處很模糊, 再扯梯度之前, 先提一下他處的問題, 最後一路類比到梯度, 把我的梯度的疑問提出來. 請大家有點耐心. 我們說有一函數 f(x)=2x^2+3x+1, 可以對它取導函數, df(x) ----- = 4x+3 , dx 但是我們有對 2x^2+3x+1 =0 取導函數的說法嗎？前者是對 y=f(x)=2x^2+3x+1 取導函數 , 後者是 2x^2+3x+1=0, 感覺後者的說法很怪. 暫時跳開一下, 我們說, x=6, 可以左右一起加上一個常數9, 得 x+9=6+9, 嗯, 沒問題, x也還是原來的解沒有增根 x=6, 可以兩邊平方，得x^2=36, 嗯, 也沒問題, 但是x除了原本的6之外，還增根了，增了一個根，叫作-6 所以 x=6, 左右兩邊一起平方, 得 x^2=36 <=> x = ±６這裡的兩邊平方是什麼意思？感覺就不是像等量加法公理、乘法公理那麼嚴謹數學界好像也沒有相關的理論仔細討論這等號左右兩邊一起「平方」或幹嘛幹嘛是什麼意思. 我自己是解釋成左右兩邊(x與6)一起代進函數f(x)=x^2 這樣. 好的, 回到 2x^2+3x+1=0, 左右兩邊一起對 x 微分(同取 d/dx) 得: 2 2x + 3x + 1 = 0 d d ==> --- (2x^2 + 3x +1) = ---- (0) <===> 4x+3 =0 dx dx 這個「左右兩邊同時blah blah blah」之下, 可以看出原本方程式的解為 -0.5/-1 可是左右兩邊一起同時對 x 微分之後, x 增根嗎？不，沒有 x 減根嗎？對更誇張的是, x 連保有原來的解 x=-0.5/-1 都不了, 面目全非, 變成 x=-0.75 可見這對左右兩邊同時怎樣怎樣怎樣的動作做起來有風險，有些高中題目, 指對數方程式解不出來, 就左右兩邊同取 log, 讓某些指數掉下來, 以解方程式. 在那時候我們都不會有什麼懷疑，覺得：「左=右」，左右兩邊同時平方、同時開根號、同時取log、同時取自然指數為底...有什麼問題呢？左右兩邊同取log, 解出來的x是誰就是誰啊.. 還有疑問嗎？可是微分在這裡就不然。他會把你的 x 的解完全搞得面目全非。第一個問題是，為什麼會有這麼奇怪的現象？第二個問題就是梯度了， z = f(x,y) = 3x^2 + 2xy + y^2, 這大家都會算梯度, 算出來是二維向量 ▽f(x,y), 唯一可是這裡也可以寫成, F(x,y,z) = z-f(x,y) = z- 3x^2 -2xy -y^2 =0 原文書課本說, 這樣也可以求梯度 ▽f(x,y,z) 這樣求出來的梯度, 似乎不是唯一的因為誰跟你說一定要寫成 z-3x^2-2xy-y^2 = 0? 我也可以寫成 3z-9x^2-6xy-3y^2=0, 還是同一個三度空間圖形啊, 因此▽f(x,y,z)就會完全是另一個向量了, 在點(1,2,11)的梯度也不唯一, 請問這批梯度有什麼關係？原文書好像沒強調耶. 即: z=f(x,y)=3x^2+5xy-6y^2 在二維的梯度是唯一，在三維的梯度是不唯一？這麼重要的東西原文書居然沒寫 @@ 另外就是梯度▽f(x,y,z)垂直level surface f(x,y,z)=0 的證明過程中, 就是用到我說的左右兩邊同對某變數取導函數的推導過程來證明, 為什麼不會有問題啊...冏包括向量函數 r(t) dot r(t)= 常數 => r(t)垂直r'(t) 的證明過程也都這樣用. 有板上高手可以順便證明一下嗎？或者指出為什麼在那種地方的證明過程中, 有一步是f(t)=0, 用了「左右兩邊同取對t的導函數」, 結果之後等號左右兩邊的t跟原本是同一批解幾合. 多謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.162.250.76 ※ 編輯: alfadick 來自: 1.162.250.76 (04/05 17:28)

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[微積] 2x^2+3x-1=0 對 x 微分 是啥

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