Re: [微積] 請教台大102微積分一題

看板Math作者asynchronous (同步)時間11年前 (2013/04/02 22:14)推噓1(1推 0噓 4→)

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※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 標題: Re: [微積] 請教台大102微積分一題 : 時間: Sat Mar 30 16:29:19 2013 : a ε : ∫ f(t) ───── dt ---(*) : 0 ε^2 + t^2 : : a/ε 1 : = ∫ f(εt) ──── dt ---(**) : 0 1 + t^2 : : f bdd，by comparison with Mε/(ε^2 + t^2), lim (*) exists, denoted by F(ε) : a→∞ : (M是│f│的界) : : 所以 lim (**) = F(ε) : a→∞ : a 1 : 而且 lim ∫ f(εt) ──── dt 也會是F(ε) (這部分自己證一下) : a→∞ 0 1 + t^2 : : 題目是要問 lim F(ε)是否存在，而且是多少 : ε→0 : : 推 keroro321 :|f(x)-f(0)| 積分成2區控制 [0,δ],[δ,∞] (ε估) 03/30 16:54 初微的做法就是要拆兩段... 只是拆的方法跟ε有關 ∞ f(εt) 承襲 z 大, 所求 = lim G(ε) where G(ε) = ∫ ───── dt -∞ 1+t^2 要證 lim G(ε) = πf(0), 就是對每個η> 0 都有ζ> 0 使 | G(ε) - πf(0) | < η whenever ε< ζ 為了方便先假設 f(0) = 0, 證完後可輕易推得 f(0) 非 0 的 case --------------------------------------------------------- 把瑕積分 G(ε) 拆成中間和尾巴兩部分, 以δ為分段點中間要接近 πf(0) = 0, 尾巴則是要讓它夠小, 具體說就是小於 η/2 ∞ f(εt) ∞ M ∞ M |右尾巴| = |∫ ──── dt | ≦ ∫ ─── dt < ∫ ── dt = M/δ, 左尾巴同 δ 1+t^2 δ 1+t^2 δ t^2 可以令分段點δ = 4M/η, 則 |左尾巴 + 右尾巴| < 2M/δ = η/2 --------------------------------------------------------- δ f(εt) 接著ζ要夠小, 也就是ε夠小, 讓 | 中間 | = | ∫ ──── dt | < η/2 -δ 1+t^2 因 f 連續, 存在 ζ' 使 | f(x) | < η/2π whenever |x| < ζ' 令 ζ = ζ'/δ = ηζ'/4M 即可則 whenever ε< ζ, |t| ≦ δ |εt| < ζδ = ζ' , | f(εt) | < η/2π δ f(εt) δ dt | ∫ ──── dt | < η/2π ∫ ─── < η/2 -δ 1+t^2 -δ 1+t^2 ∞ f(εt) | G(ε) | = | ∫ ──── dt | = |左尾巴 + 右尾巴 + 中間| < η -∞ 1+t^2 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 175.181.129.210 ※ 編輯: asynchronous 來自: 175.181.129.210 (04/02 22:16)

推

znmkhxrw

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