Re: [微積] 請教台大102微積分一題
我沒有用大學方法做出來 想看理由的話可以參考一下
∞
討論∫ 就好，另外一邊一樣
0
ε>0
a ε
∫ f(t) ───── dt ---(*)
0 ε^2 + t^2
a/ε 1
= ∫ f(εt) ──── dt ---(**)
0 1 + t^2
因f bdd，by comparison with Mε/(ε^2 + t^2), lim (*) exists, denoted by F(ε)
a→∞
(M是│f│的界)
所以 lim (**) = F(ε)
a→∞
a 1
而且 lim ∫ f(εt) ──── dt 也會是F(ε) (這部分自己證一下)
a→∞ 0 1 + t^2
題目是要問 lim F(ε)是否存在，而且是多少
ε→0
1 f(0)
令g(ε,t) = f(εt) ──── , 且 lim g(ε,t) = ────
1+t^2 ε→0 1+t^2
a
所以從上面已知 lim ∫ g(ε,t) dt = F(ε)
a→∞ 0
a
如果極限處處可交換 lim lim ∫ g(ε,t) dt
ε→0 a→∞ 0
a
= lim lim ∫ g(ε,t) dt
a→∞ ε→0 0
a πf(0)
= lim ∫ lim g(ε,t) dt = ────
a→∞ 0ε→0 2
第一次換是雙極限交換，第二次換是把極限換到積分裡面
而雙極限交換的條件是：A對B均勻收斂，B對A逐點收斂
第一次交換可以用控制函數辦到，因為│g(ε,t)│≦M/(1+t^2) (M是│f│的界)
第二次交換卻是需要 g(ε,t) 均勻收斂到 f(0)/(1+t^2)
這一部分辦不到(目前試不出) 因為f只是有界連續而已
可是，這題卻是對的，因為可以用實變的定理做出來
經由Lebesgue積分與Riemann瑕積分的互換以及Lebesgue控制收斂定理
可以不需要g(ε,t)的均勻收斂性 且只需要換一次極限
我檢查過了 確實可以 可是因為這是考大學內容 我就不打了
也蠻好奇板上高手是否不用實變的方法 謝謝
順帶一題 實變很少有以"均勻收斂"為條件 因為這條件太強了
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