Re: [微積] 數列極限 (證不出為何a_n收斂)
※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: 4
: 1. a_1 = 2(1+√5) ， a_(n+1) = ________
: a_n - 2
: 求a_n極限值
: 證不出a_n收斂
: 倘若a_n收斂的話
: 當n趨近於無窮大時 可以令 a_n=a_(n+1)=x 去解之
: 想請問怎麼證明a_n會收斂
直接計算也是有一般方法的：
q_n q_(n+1) 4*p_n
令 a_n = ──，則 a_(n+1) = ──── = ───────
p_n p_(n+1) -2*p_n + q_n
（同時任意令 p_1 = 1 ，q_1 = 2(1+√5)， a_1 =q_1/p_1 ）
以矩陣表示
┌ q_(n+1)┐ = ┌ 0 4 ┐┌ q_n ┐
└ p_(n+1)┘ └ 1 -2 ┘└ p_n ┘
^^^^^^^^^^
矩陣 A
然後解eigenvalue equation 將 A 對角化，得 λ= -1±√5
-1
故A = Q D Q
其中
D = ┌-1+√5 0 ┐
└ 0 -1-√5 ┘
1
Q = ┌ 1+√5 1-√5 ┐, Q^-1 = ─── ┌ 1 √5-1 ┐
└ 1 1 ┘ 2√5 └ -1 √5+1 ┘
-1 n-1 -1
故 ┌ q_n ┐ = Q D Q ┌ q_(n-1) ┐ = Q D Q ┌ q_1 ┐
└ p_n ┘ └ p_(n-1) ┘ └ p_1 ┘
直接計算可得
q_n (16+4√5)(-1+√5)^(n-1) + 4(-1-√5)^(n-1)
a_n = ── = ────────────────────────
p_n (1+3√5)(-1+√5)^(n-1) -(1+√5)(-1-√5)^(n-1)
分子分母同除 (-1-√5)^(n-1) （絕對值較大者）
4
lim a_n ＝ - ─── ＝ 1- √5
n→∞ 1+√5 #
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