Re: [中學] 多項式的問題
※ 引述《piesec2 (靜流~)》之銘言：
: 年級:高中一年級
: 章節:多項式
: 題目:已知f(x)=x^5-16x^4-7x^3+11x^2+19x+27,f(x)=0
: 有k個正根,且最大正根介於n與n+1之間(n為正整數)
: 則(k,n)=?
: 想法:
: 由函數x^5-16x^4猜測x=16附近可能有正根,又f(16)*f(17)<0
: 故最大正根介於16~17之間,所以n=16
: 接著要確認正根有幾個,要用勘根定理代入x=1,2,3,4,5,6,7,8,....,16嗎?
: 似乎很累人...
: 請問有其他高一的作法嗎?
: 謝謝
推
02/02 15:01, , 1F
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02/02 15:02, , 2F
02/02 15:02, 2F
這是嚴謹但很方便的估計方法，在發現上述的現象之後可以好好使用
（答題時判斷數值的趨勢不需要想到這麼複雜啦～）
＜估計一＞
對於x≧2，會有 f(x) ≦ x^5 - 16x^4 - 7x^3 + 5.5x^3 + 4.75x^3 + 3.375x^3
＜ x^5 - 16x^4 + 7x^3
＝ x^3 ( x^2 - 16x + 7 )
＝ x^3 [ (x-8)^2 - 57 ]
所以對於 2≦x≦15，f(x) 恆負
＜估計二＞
對於x≧3，會有 f(x) ≦ x^5 - 16x^4 - 7x^3 + (11/3)x^3 + (19/9)x^3 + x^3
＜ x^5 - 16x^4
＝ x^4 ( x - 16 )
所以對於 3≦x≦16，f(x) 恆負
＜估計三＞
對於x≧17，會有 f(x) ≧ 17x^4 - 16x^4 - 7x^3 + 11x^2 + 19x + 27
≧ 17x^3 - 7x^3 + 11x^2 + 19x + 27 ＞ 0
此時 f(x) 恆正
※ 編輯: mixxim 來自: 114.27.84.244 (02/02 15:27)
※ 編輯: mixxim 來自: 114.27.84.244 (02/02 15:29)
推
02/02 20:21, , 3F
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02/03 22:13, , 4F
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02/03 22:15, , 6F
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