Re: [機統] 請問一題台大甄選試題
(1) 兩人猜拳 要分出勝負的猜拳次數期望值
設這個期望值為F
猜完一次以後 要分出勝負的猜拳次數期望值並不會變=>還是F
所以可以得到一個式子 F = (2/3)*1 + (1/3)*(1+F)
=> F = 1 + (1/3)*F
=> F = 3/2 (即平均1.5次)
(2) 三人猜拳 要分出勝負的猜拳次數期望值
設F(n)為n人分出勝負的猜拳次數期望值 由上題可知F(2) = 1.5
F(3) = (1/3)*1 + (1/3)*(1+F(2)) + (1/3)*(1+F(3))
=> F(3) = 1/3 + 2.5/3 + 1/3 + (1/3)*F(3)
=> F(3) = 2.25 (即平均2.25次)
※ 引述《kh749 (ReturnTo)》之銘言：
: 查查看"幾何分布"這件事情
: q=1/3, p=2/3
: f(x)=q^(n-1)p
: 期望值=1/p
: =1/(2/3)=3/2=1.5
: 對高中生來說,二項式分布都在教了
: 幾何分布也不算難
: ※ 引述《jameschou (DOG)》之銘言：
: : 每猜一次 都有1/3機率會出一樣的=>要猜下一次
: : 2/3機率會出不一樣的=>分出勝負
: : 可以用畫樹狀圖的方法先觀察:
: : 一次 兩次 三次 ...
: : (2/3)
: : 機／ (2/3)
: : 率＼ (1/3) ／ (2/3)
: : ＼ (1/3) ／
: : ＼ (1/3) ...
: : 0 1 2
: : => 平均次數 = (1/3) (2/3)*1 + (1/3) (2/3)*2 + (1/3) (2/3)*3 + ...
: : ∞ k
: : =2*Σ (1/3) *k
: : k=1
: : ∞ k ∞ k ∞ k
: : =2*[ Σ (1/3) + Σ (1/3) + Σ (1/3) + ... ]
: : k=1 k=2 k=3
: : 1 2 3
: : =2*[ (1/3) /(2/3) + (1/3) /(2/3) + (1/3) /(2/3) + ... ]
: : ∞ k
: : =3*[Σ (1/3) ] = 3*[(1/3)/(2/3)] = (3/2)
: : k=1
: : Ans: 平均1.5次
: : 稍微觀察一下各種情形可知:
: : "三個人"每猜一次拳 , 有1/3機率有一人勝出,1/3機率兩人勝,1/3機率都沒分出勝負
: : 因為兩個人猜拳平均要猜1.5次可以分出勝負 (前一題的)
: : 所以樹狀圖會有點類似以下這樣:
: : 一次 兩次 ...
: : (1/3) (一人勝)
: : ╱
: : ─ (1/3)*(2人)
: : (1/3) (一人勝)
: : ╲ ╱
: : (1/3) ─ (1/3)*(2人)
: : ╲
: : (1/3) ...
: : 直接分出勝負 剩兩個人
: : ↑ ↑
: : ∞ k ∞ k
: : 平均猜拳次數 = [ Σ (1/3) *k + Σ (1/3) *(k+1.5)]
: : k=1 k=1
: : ∞ k ∞ k
: : = [2Σ (1/3) *k + Σ (1/3) *(1.5)]
: : k=1 k=1
: : ∞ k
: : = [ 1.5 + 1.5*Σ (1/3) ] = 1.5 + 1.5*(1/2) = 2.25
: : k=1
: : ∞ k
: : ( 其中 2Σ (1/3) *k 是因為第一小題算過 所以可以直接代1.5 )
: : k=1
: : Ans: 平均2.25次
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.175.111
討論串 (同標題文章)