[微積] 黎曼可積兩個問題

看板Math作者 (醉翁之意)時間13年前 (2013/01/15 22:58), 編輯推噓5(5推 0噓 51→)
留言56則, 5人參與, 6年前最新討論串1/3 (看更多)
1. f(x) = (1/x)cos(1/x^2), x ≠0 f(0) = 0 請問 f 在 [0,1] 上是否黎曼可積？ （原本黎曼可積是要求 bounded function，但這邊的意思是 如果對所有partition，和選取點，只要 partition 的 norm 趨近於0， 這些黎曼和都會趨近於一個定值的話，就算是黎曼可積，不需要 bounded） 是與否都請用黎曼和去處理，謝謝！ 2. 一個 在區間[a,b]上 unbounded 但瑕積分存在 的函數 是否一定找的到一個 partition 的數列 P_n，和相對應選取的點c_k， 其中 |P_n|→0 當 n→∞， 使得黎曼和發散 當 n→∞？ 其實根據這篇文章 http://www.docin.com/p-407594177.html 應該就是都會"不可積"，但是我想知道找Partition的細節，所以才問的， 麻煩各位高手了！！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.116.191.200
推
01/15 23:01, , 1F
1. 不連續點只有0 零測度 所以黎曼可積
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01/15 23:02, , 2F
然後我記得黎曼積分只考慮有界函數
01/15 23:02, 2F
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01/15 23:03, , 3F
所以2的這個問題就我個人難以回答XD
01/15 23:03, 3F
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01/15 23:04, , 4F
我換個方式問2
01/15 23:04, 4F
※ 編輯: iamwjy 來自: 140.116.191.200 (01/15 23:07) ※ 編輯: iamwjy 來自: 140.116.191.200 (01/15 23:16)
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01/15 23:17, , 5F
一樓的定理應該只是用於bounded函數吧？！
01/15 23:17, 5F
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01/15 23:18, , 6F
例如 f(x)=1/根號x, x>0; f(0)=0
01/15 23:18, 6F
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01/15 23:20, , 7F
選P:0< 1/n < 2/n< ... < (n-1)/n <1;c_1 = 1/n^4
01/15 23:20, 7F
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01/15 23:20, , 8F
S(f;P) >= f(c_1)(1/n)=n 就發散了
01/15 23:20, 8F
推
01/15 23:35, , 9F
似乎有理
01/15 23:35, 9F
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01/15 23:36, , 10F
那可能都得細心的挑選好的分割來做了嗚嗚
01/15 23:36, 10F
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01/15 23:39, , 11F
2的那個問題 可是如果當你挑靠近unbdd的地方的涵數值
01/15 23:39, 11F
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01/15 23:39, , 12F
本來就會越來越大 應該是辦得到
01/15 23:39, 12F
推
01/15 23:47, , 13F
然後問一下 那個partition可以選到他爆掉的點嘛?
01/15 23:47, 13F
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01/15 23:48, , 14F
理論上 當然會覺得做的到 但是就是因為我第一題
01/15 23:48, 14F
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01/15 23:49, , 15F
實在找不出來 才問的
01/15 23:49, 15F
推
01/15 23:50, , 16F
然後像是dirac measure那樣的(函數) 應該就不行
01/15 23:50, 16F
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f(c_k) 總是函數值阿 沒有什麼爆掉的點 像第一題
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01/15 23:51, , 18F
f(0) 也有定義阿
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※ 編輯: iamwjy 來自: 140.116.191.200 (01/15 23:53)
推
01/15 23:52, , 19F
所以在他等於無窮的地方我都重新定義一個有限值給他
01/15 23:52, 19F
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01/15 23:54, , 20F
是吧。 總之，f在[a,b]是有定義的實函數
01/15 23:54, 20F
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01/16 00:03, , 21F
1. 既然是 unbounded, 只能考慮瑕積分, 除非是積分
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範圍遠離 0, 即 [a,b], a>0 或 b<0.
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樓上請看括號裡頭的說明！
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2. WLOG 假設 f(x) 只在 x→a+ 時無上界.
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對分割中第一個子區間 [x0,x1], x0=a. 令△1=x1-x0.
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01/16 00:19, , 26F
因 f(x) 在 (a,x1] 無上界, 故存在 t1 使
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01/16 00:20, , 27F
f(t1)>1/(△1)^2, 故 f(t1)△1>1/△1.
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01/16 08:02, , 28F
樓上這樣並不是WLOG，無法適用於1
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01/16 12:32, , 29F
為例我不能只考慮在 x-->a+ 時無界?
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即使無界是發生在 (a,b) 中間的點 c, 把 c 點都列入
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分割, 有何不可? 敘述中並不是要 "對任意分割序列",
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而是只要 "存在一個分割序列".
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01/16 12:37, , 33F
就你的 "1." 而言, 在 (1,1+△) 或 (1-△,1) 找不到
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如我前面說的 t 點嗎?
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01/16 12:39, , 35F
就算 f(x) 不是上方無界而是下方無界, 也不過是變個
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01/16 12:39, , 36F
方向, 取 f(t) 小於所需的值而已.
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01/16 23:26, , 37F
這樣是可以f(t1)△1>1/△1，但是加上其他項的時候，
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也許其他項有接近附無窮大的項，這樣加起來就有可能
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01/16 23:27, , 39F
有限。
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01/16 23:27, , 40F
所以說要一起處理 不能一項一項處理
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01/16 23:27, , 41F
但反正就看下面的回文吧 那個證明很乾淨
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01/17 14:31, , 42F
是你看不懂. 在分割的其他子區間取點後總和是有限的.
01/17 14:31, 42F
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01/17 14:32, , 43F
我只是在奇異點那個子區間取點使 f(t)△ 可以任意大
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01/17 14:33, , 44F
(或負的任意大,即任意小). 如果這樣還看不懂就算了!
01/17 14:33, 44F
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01/17 14:34, , 45F
事實上以 upper sum 與 lower sum 來看的話, 就很清
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01/17 14:35, , 46F
楚了! 如果在一點附近無上界, 則 upper sum 是 +∞;
01/17 14:35, 46F
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01/17 14:36, , 47F
如果在一點附近無下界, 則 lower sum 是 -∞.
01/17 14:36, 47F
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01/17 14:37, , 48F
在 upper sum 是 +∞ 的情況, 當然可取黎曼和序列發
01/17 14:37, 48F
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01/17 14:37, , 49F
散至 +∞; 而在 lower sum 是 -∞ 的情況, 則可取黎
01/17 14:37, 49F
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01/17 14:38, , 50F
曼和序列發散至 -∞.
01/17 14:38, 50F
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01/18 08:41, , 51F
你說的對！我懂了！抱歉！
01/18 08:41, 51F
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08/13 17:24, , 52F
事實上以 upper https://muxiv.com
08/13 17:24, 52F
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09/17 15:18, , 53F
樓上這樣並不是WLOG https://daxiv.com
09/17 15:18, 53F
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11/10 11:19, , 54F
所以在他等於無窮的地方 https://daxiv.com
11/10 11:19, 54F
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01/02 15:15, 7年前 , 55F
你說的對！我懂了！抱歉 https://daxiv.com
01/02 15:15, 55F
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07/07 10:33, 6年前 , 56F
所以說要一起處理 不能 https://noxiv.com
07/07 10:33, 56F
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