Re: [中學] 三角函數
※ 引述《cnick (cnick)》之銘言：
: 想請問一題
: 已知A,B,C為三角形ABC的三內角,
: 試求A,B,C各為何時,tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)有最小值
: 且此最小值為何?
因為 0＜A, B, C＜π，所以 tan（A／2）、tan（B／2）、tan（C／2）皆為正數。
首先利用柯西不等式，
｛(tan（A／2）)^2＋(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2｝
×｛(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2＋(tan（A／2）)^2｝
≧ ｛(tan（A／2）)(tan（B／2）)＋(tan（B／2）)(tan（C／2）)＋
(tan（C／2）)(tan（A／2）)｝^2＝1^2
所以，(tan（A／2）)^2＋(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2 最小值為 1
接著｛(tan（A／2）)＋(tan（B／2）)＋(tan（C／2）)｝^2
=(tan（A／2）)^2＋(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2
＋2｛(tan（A／2）)(tan（B／2）)＋(tan（B／2）)(tan（C／2）)＋(tan（C／2）)
(tan（A／2）)｝
≧1＋2=3
所以，tan（A／2）＋tan（B／2）＋tan（C／2）≧√3
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