[中學] 數學課本柯西不等式一題

看板Math作者 (玄天)時間13年前 (2012/12/18 16:16), 編輯推噓2(2推 0噓 27→)
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已知圓C:x^2+y^2=r^2(r>0)，直線L:3x+4y=5，試就r的值討論C與L的關係? 我知道可以用代數法和圓心到直線的距離兩種方法解，可是這題出現在柯西不等式的章節 (課本例題)。 書上的解答是這樣: http://imgur.com/4rNPs
由柯西不等式: (x^2+y^2)(3^2+4^2)≧(3x+4y)^2 若x，y同時滿足x^2+y^2=r^2和3x+4y=5，帶入可得 r^2(25)≧5^2 即r≧1 我的疑惑是，為何這樣就可以推出r≧1時，C和L相交，還有為何要假設 x，y同時滿足x^2+y^2=r^2和3x+4y=5?在r是未知的情況下，如何知道一定會有同時 滿足x^2+y^2=r^2和3x+4y=5的x和y? 請高手解惑 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.165.198.227
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12/18 16:48, , 1F
若沒有同時滿足x^2+y^2=r^2和3x+4y=5的x和y,就表示
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12/18 16:48, , 2F
2個方程式沒有交點..
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12/18 16:50, , 3F
2個方程式解聯立有解不就代表2個方程式的圖有交點嗎
12/18 16:50, 3F
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12/18 17:14, , 4F
可是不是應該事先知道r的大小才能知道有沒有同時滿足
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12/18 17:15, , 5F
不是嗎?
12/18 17:15, 5F
推
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反過來說 有滿足的x,y只限於某個範圍的 r 對吧?
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12/18 17:18, , 7F
那麼當有滿足的 x,y 時柯西不等式就成立了
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這樣一來這個範圍就正好是使得 x,y 有解的範圍
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12/18 17:21, , 9F
樓上，我就是您講的這個邏輯一直轉不過來，你可以換
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12/18 17:21, , 10F
個角度教導我嗎?
12/18 17:21, 10F
推
12/18 17:54, , 11F
這裡的邏輯是假設有 r 讓 x,y 有解 在這個前提下
12/18 17:54, 11F
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12/18 17:54, , 12F
去找 r 有什麼性質
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如果實際上沒有 r 讓 x,y 有解的話我們就能導出矛盾
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12/18 17:55, , 14F
反之若真的有 r 讓 x,y 有解 那我們能找到 r 的性質
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當然這個推理是單向的 所以還需要反過來檢查是否
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所找到的性質是充要條件
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不過至少它會是一個必要條件就是了
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12/18 18:29, , 18F
我的問題是，既然這個推理是單向的，那為何導出r≧1
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12/18 18:30, , 19F
之後，可以反推如果r≧1則C和L相交?
12/18 18:30, 19F
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12/18 18:51, , 20F
還是說圓與直線的關係(相切、相交、分離)與r的關係是
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12/18 18:52, , 21F
1對1的?也就是說只要證出單向即是證明了充要條件?
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12/19 13:13, , 22F
在科西不等式裡面 左右兩邊是同個xy
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12/19 13:14, , 23F
所以柯西不等式推得r>=1 才會讓這個條件產生
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12/19 13:23, , 24F
既然同個xy 那就表示有同一點同時滿足兩邊 = 相交
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※ 編輯: kylin0529 來自: 125.224.233.79 (12/19 22:25)
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08/13 17:19, , 25F
所以柯西不等式推得r> https://muxiv.com
08/13 17:19, 25F
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09/17 15:14, , 26F
如果實際上沒有 r 讓 https://daxiv.com
09/17 15:14, 26F
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11/10 11:10, , 27F
若沒有同時滿足x^2+ https://daxiv.com
11/10 11:10, 27F
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01/02 15:11, 7年前 , 28F
我的問題是，既然這個推 https://muxiv.com
01/02 15:11, 28F
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07/07 10:24, 6年前 , 29F
反過來說 有滿足的x https://muxiv.com
07/07 10:24, 29F
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