Re: [微積] 三題問題請教
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 臨時想不出那麼多題@@ 請板友幫忙一下這三題
: 2pi
: 1. S (1+cosx)/(1+(cosx)^2)
: 0
: idea:
: 我做了一下觀察不到什麼 wolfram跑出來會有arctanh...
: 然後看看他的不定積分...整個超扯超長 請問有什麼trick直接算此範圍定積分嗎
畫 cos 和 1 + (cos x)^2 的圖, 正負消一消後變成
2π
∫1/(1 + cos^2(x)) dx
0
一樣看圖 把相同的併在一起後
π/2
4∫1/(1 + cos^2(x)) dx
0
1
然後用半角代換可以算得出來, 變 4∫(1+t^2)/(1+t^4) dt, 接著參見精華區
0
1
= 4∫(1+1/t^2)/(t^2 + 1/t^2) dt
0
令 u = (t - 1/t) 代換, 則 分子dt = du, 分母 = u^2 + 2
: 2. find indefinite integral of f^(-1)(y) , where f(x) = 1/(e^(4x)+e^(2x))
: idea:
: 這種函數應該寫不出來f^(-1)(y)長怎樣
: 所以我用了一次分部積分後 (let g(y) = f^(-1)(y) )
: 得到 S g(y) dy = g(y) * y - S y*g'(y) dy
: 而我們知道 g'(y) = 1/f'(x) = 1/f'(g(y)) ... 然後我就投降了...
想太多囉XD
令 y = 1/(e^{4x} + e^{2x}) 代換, ∫f^{-1}(y)dy 變
∫x [1/(e^{4x}+e^{2x})]' dx
= x/(e^{4x}+e^{2x}) - ∫1/(e^{4x}+e^{2x})dx
= x/(e^{4x}+e^{2x}) - 1/2 (-e^{-2x} + ln|1 + e^{-2x}|) + C
= f^{-1}(y)y - 1/2 (-e^{....
^ 以上請把 x 填上 f^{-1}(y)...
: 3. 用MVT證 for all x,y>0 ,(1+x)ln(1+x) + (1+y)ln(1+y) < (1+x+y)ln(1+x+y)
: idea:
: 湊一段時間湊不出來= =...
: 謝謝幫忙
以下這個方法滿硬爆XDrz 有點麻煩
首先用 MVT 證 ∀x>0, ln(1+x)<x // [ln(1+x)-ln(1+0)]/x = 1/(1+c) < 1, 0<c<x
注意到原式 x, y 互換的話式子不變 所以不失一般假設 0 < x ≦ y
(1+y + x)ln(1+y + x) - (1+y)ln(1+y)
=> ----------------------------------- = 1 + ln(k) where 1+y < k < 1+y+x
x
> 1 + ln(1+y) ≧ 1 + ln(1+x)
=> (1+y+x)ln(1+y+x) - (1+y)ln(1+y) > x + xln(1+x)
> ln(1+x) + xln(1+x)
然後移項就好
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◆ From: 118.166.48.66
※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.48.66 (12/13 23:45)
※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.48.66 (12/14 00:16)
推
12/14 00:18, , 1F
12/14 00:18, 1F
→
12/14 00:23, , 2F
12/14 00:23, 2F
→
12/14 00:23, , 3F
12/14 00:23, 3F
※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.48.66 (12/14 00:50)
討論串 (同標題文章)