Re: [中學] 若x^10 +mx+n 可被(x-1)^2 整除
※ 引述《lovewin (思念天上的你們)》之銘言：
: 22. 若x^10 +mx+n 可被(x-1)^2 整除，則m-n之值為何？
: 答為-19
: ======================================================================
: 解析如下:
: 令 x^10 + mx + n = (x - 1)^2 * Q(x)
: x = 1 代入得 m + n = -1
: 兩邊微分 10x^9 + m = (x - 1)^2 * Q'(x) + Q(x) * 2(x - 1)
: x = 1 代入得 m = -10
: n = 9
: m - n = -19
: ======================================================================
: 我的困惑:
: 我高中唸的是社會組
: 沒有學過微積分
: 不知道這題是否有其他不需用到微積分就能解的方式呢??
: 麻煩了，感恩您。
: 100中區
可以用二項式定理
(x-1 + 1)^10 + mx + n
=C(10,10)*(x-1)^10 + C(10,9)*(x-1)^9+...+C(10,2)(x-1)^2+C(10,1)*(x-1)+1
+mx+n
除(x-1)^2的餘式就會剩下
C(10,1)(x-1)+1+mx+n = 0 = 0x+0(題目說整除)
整理後
10x-10+1+mx+n=(10+m)x-9+n = 0x+ 0
m=-10 n=9
m-n=-19
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