Re: [代數] 2題數論證明
※ 引述《karfeon (卡非)》之銘言：
: 1.
: n 1 n 1 n (-1)^n n 1 n
: 證明： ( ) - ─( ) + ─( ) - ... + ───( ) = ── ( ) 為二項係數
: 0 2 1 3 2 n+1 n n+1 ， i
: 2.
: 任2個大於1且互質的正整數a,b ，證明
: (1) ab-a-b 不能寫成ax+by的形式，其中x,y為非負整數
: (2)任意比ax-a-b大的整數都可以寫成ax+by的形式，其中x,y為非負整數
: //如：a=3 b=5 則 7 無法寫成 ax+by ，但8=3+5 9=3x3 10=5x2 ...
2.
(1) 若ab-a-b=ax+by其中x,y>=0
=> a(b-1-x)=b(y+1)
=> b整除a(b-1-x) 但a,b互質
=> b整除(b-1-x) 但 b-1-x<b 且b為正整數 =>顯然矛盾
(2) (私心把你的題目改為"比ab-a-b大的整數")應該是這個意思吧??XD
假設這個比ab-a-b大的整數為ab-a-b+c其中c>=1，c為正整數
由輾轉相除法以及a,b互質可知存在整數s,t使得as+bt=1
=> ab-a-b+c
= ab - a - b + c(as+bt) = a(cs-1) + b(a-1+ct)
顯然cs-1>=0 所以如果 a-1+ct>=0 那x=cs-1,y=a-1+ct即為所求
如果今天發生悲劇 a-1+ct<0
那就令k為整數使得 ka <= a-1+ct < (k+1)a
那 a(cs-1) + b(a-1+ct) = a(cs-1+kb) + b(a-1+ct-ka)
其中顯然a-1+ct-ka>=0所以y=a-1+ct-ka>=0
而又a-1+ct < (k+1)a
ct-1 < ka
ct <= ka
bct/a <= kb
所以cs+kb >= cs+bct/a
但as+bt=1
bt=1-as
故cs+kb >= cs+c(1-as)/a = c/a > 0
所以cs+kb > 0 所以 cs+kb >= 1 所以 cs+kb-1 >= 0
所以x = cs+kb-1 >=0
結論ab-a-b+c = a(cs+kb-1) + b(a-1+ct-ka)
其中ka <= ct+a-1 < (k+1)a
想了好久有點腦殘不知道有沒有哪裡想錯XDDD
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.217.1
推
09/12 00:26, , 1F
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09/12 00:26, , 2F
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09/12 00:26, , 3F
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09/12 00:27, , 4F
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09/12 00:27, , 5F
09/12 00:27, 5F
由f'(x)解得f(x) = -(1-x)^(n+1) / (n+1) + C
但f(0)顯然為0
所以 C = 1/(n+1)
※ 編輯: yasfun 來自: 140.112.217.1 (09/12 00:32)
推
09/12 00:39, , 6F
09/12 00:39, 6F
OK的XDDDD
※ 編輯: yasfun 來自: 140.112.217.1 (09/12 01:00)
討論串 (同標題文章)