Re: [中學] x^4+x+2=0無實根
※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: 4
: x + x +2 =0
: 明顯地
: 他不會有正根
: 怎麼說明他不會有負根
: 任何負的實數代入皆不等於零
: 而且會恆正
if x<0, let t=-x, then t>0.
x^4+x = t^4 -t = t(t^3-1) = f(t)
Clearly, f(t)≧0 for t≧1.
For 0<t<1,
t^3 + (1-t^3)/3 + (1-t^3)/3 + (1-t^3)/3 3 1-t^3 3 1/4
------------------------------------------- ≧ ( t (-------) )
4 3
(AM≧GM)
Hence, t^3(1-t^3)^3 ≦ 27/256 => t(1-t^3) ≦ 0.75*(2)^(-2/3).
f(t) = -t(1-t^3)≧ -0.75*(2)^(-2/3).
3
x^4 + x + 2 ≧ 2 - ----------- > 0 , for all real x.
4(2)^(2/3)
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◆ From: 140.114.82.200
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