Re: [分析] 積分與極限互換問題

看板Math作者 (Gloria)時間13年前 (2012/07/08 14:59), 編輯推噓1(1推 0噓 7→)
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※ 引述《GSXSP (Gloria)》之銘言： μ is a finite measure (這一項我不確定是否有必要) fn -> f almost everywhere and lim ∫|fn|^2 dμ < ∞ n→∞ Prove that lim∫fn dμ = ∫f dμ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.138.168.168
→
07/06 22:11,
當然是必要,L([1,∞]),fn=1/(n*x)
07/06 22:11
Yes, 那加 ∫fn dμ < ∞ for all n 可以去掉 μ finite嗎
推
07/07 03:30,
你的意思應該是 sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ 吧?
07/07 03:30
我的意思是這樣 應該一樣吧@@? ※ 編輯: GSXSP 來自: 114.44.49.99 (07/07 06:52)
→
07/07 09:24,
你這敘述是錯的,即使μ:finite measure
07/07 09:24
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07/07 09:33,
fn≧0,fn->f a.e.,f=0,1=∫fn,∫f=0,2F與你條件不一
07/07 09:33
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07/07 09:41,
樣 X=[-1,1] 想一下 Dirac Delta fuction 就是反例
07/07 09:41
→
07/07 10:05,
喔抱歉 沒看到 lim∫|fn|^2 dμ < ∞
07/07 10:05
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07/07 11:34,
當條件μ:finite measure的證明(有問這個?)有的話
07/07 11:34
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07/07 11:36,
E(N,ε)=∪(n>N){|f-fn|>ε}, let E1=X-E(N,ε)
07/07 11:36
→
07/07 11:37,
E2=E(N,ε)-E(N,1),E3=E(N,1) 這樣子去估計
07/07 11:37
→
07/07 11:38,
∫|f-fn|=∫_E1+∫_E2+∫_E3
07/07 11:38
→
07/07 11:42,
∫_E3( ≦(μ(E3)^0.5)*(2||fn||_2+1) ).. 當n夠大
07/07 11:42
是這樣嗎: Given ε> 0, Let E_N = ∪ {|f-fn|>ε} n>N sup ∥fn∥_2 = M n by a.e. convergence, we can have μ(E_N) ≦ ε if n > N, ∫|f-fn| dμ ＝ ∫{Ω\E_N} |f-fn| dμ + ∫{E_N} |f-fn| dμ ≦ εμ(Ω) + ∫{E_N} |fn| dμ + ∫{E_N} |f| dμ (這Holder Inequality沒錯吧?) ≦ εμ(Ω) + (μ(E_N))^0.5 (∫{E_N} |fn|^2 dμ)^0.5 + (μ(E_N))^0.5 (∫{E_N} |f|^2 dμ)^0.5 ≦ εμ(Ω) + (μ(E_N))^0.5 (∥fn∥_2 + ∥f∥_2) ≦? εμ(Ω) + ε^0.5 (2M) ＝ ε' E3好像不需要@@? 不過我不知道我要怎麼說明 ∥f∥_2 是 finite? (他應該會是≦M 吧?)
推
07/07 18:26,
sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ implies {f_n} being
07/07 18:26
→
07/07 18:26,
uniformly integrable. Hence almost sure conv.
07/07 18:26
→
07/07 18:27,
implies L^1-conv..
07/07 18:27
請問我要怎麼說明sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ implies {f_n} u.i. 呢?
推
07/07 18:35,
對於μ(X)=∞ 的狀況, 考慮 Lebesgue measure on |R
07/07 18:35
→
07/07 18:36,
f_n indicator function of [n,n+1]
07/07 18:36
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07/07 18:37,
sup_n∫|f_n|^p dx = 1<∞, f_n -> 0 pointwisely
07/07 18:37
→
07/07 18:38,
但是 ∫|f_n-0| dμ 不趨近於零
07/07 18:38
Thanks for the excellent example. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.44.49.99 ※ 編輯: GSXSP 來自: 114.44.49.99 (07/08 15:08) ※ 編輯: GSXSP 來自: 114.44.49.99 (07/08 15:09)
→
07/08 16:08, , 1F
∥f∥_2 用 Fatou's lemma 去想
07/08 16:08, 1F
→
07/08 21:45, , 2F
Right!! thanks~
07/08 21:45, 2F
推
07/09 01:07, , 3F
∫_{|fn|>L} |fn| dμ≦∫|fn|^2 dμ/L
07/09 01:07, 3F
→
07/09 01:08, , 4F
the RHS →0 uniformly in n as L →∞
07/09 01:08, 4F
→
07/09 01:09, , 5F
不僅是 p=2, 對於任何 p>1, 上面這個論述都成立
07/09 01:09, 5F
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07/09 09:35, , 6F
原來如此~ 謝謝!
07/09 09:35, 6F
→
08/13 16:58, , 7F
f_n indicat https://noxiv.com
08/13 16:58, 7F
→
09/17 14:54, , 8F
E2=E(N,ε)-E https://daxiv.com
09/17 14:54, 8F
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文章代碼(AID): #1F-I_Uyx (Math)
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