[分析] 積分與極限互換問題

看板Math作者 (Gloria)時間13年前 (2012/07/06 21:52), 編輯推噓3(3推 0噓 17→)
留言20則, 3人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
μ is a finite measure (這一項我不確定是否有必要) fn -> f almost everywhere and lim ∫|fn|^2 dμ < ∞ n→∞ Prove that lim∫fn dμ = ∫f dμ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.138.168.168
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07/06 22:11, , 1F
當然是必要,L([1,∞]),fn=1/(n*x)
07/06 22:11, 1F
Yes, 那加 ∫fn dμ < ∞ for all n 可以去掉 μ finite嗎
推
07/07 03:30, , 2F
你的意思應該是 sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ 吧?
07/07 03:30, 2F
我的意思是這樣 應該一樣吧@@? ※ 編輯: GSXSP 來自: 114.44.49.99 (07/07 06:52)
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07/07 09:24, , 3F
你這敘述是錯的,即使μ:finite measure
07/07 09:24, 3F
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07/07 09:33, , 4F
fn≧0,fn->f a.e.,f=0,1=∫fn,∫f=0,2F與你條件不一
07/07 09:33, 4F
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07/07 09:41, , 5F
樣 X=[-1,1] 想一下 Dirac Delta fuction 就是反例
07/07 09:41, 5F
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07/07 10:05, , 6F
喔抱歉 沒看到 lim∫|fn|^2 dμ < ∞
07/07 10:05, 6F
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07/07 11:34, , 7F
當條件μ:finite measure的證明(有問這個?)有的話
07/07 11:34, 7F
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07/07 11:36, , 8F
E(N,ε)=∪(n>N){|f-fn|>ε}, let E1=X-E(N,ε)
07/07 11:36, 8F
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07/07 11:37, , 9F
E2=E(N,ε)-E(N,1),E3=E(N,1) 這樣子去估計
07/07 11:37, 9F
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07/07 11:38, , 10F
∫|f-fn|=∫_E1+∫_E2+∫_E3
07/07 11:38, 10F
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07/07 11:42, , 11F
∫_E3( ≦(μ(E3)^0.5)*(2||fn||_2+1) ).. 當n夠大
07/07 11:42, 11F
推
07/07 18:26, , 12F
sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ implies {f_n} being
07/07 18:26, 12F
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07/07 18:26, , 13F
uniformly integrable. Hence almost sure conv.
07/07 18:26, 13F
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07/07 18:27, , 14F
implies L^1-conv..
07/07 18:27, 14F
推
07/07 18:35, , 15F
對於μ(X)=∞ 的狀況, 考慮 Lebesgue measure on |R
07/07 18:35, 15F
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07/07 18:36, , 16F
f_n indicator function of [n,n+1]
07/07 18:36, 16F
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07/07 18:37, , 17F
sup_n∫|f_n|^p dx = 1<∞, f_n -> 0 pointwisely
07/07 18:37, 17F
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07/07 18:38, , 18F
但是 ∫|f_n-0| dμ 不趨近於零
07/07 18:38, 18F
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08/13 16:58, , 19F
對於μ(X)=∞ 的狀 https://noxiv.com
08/13 16:58, 19F
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09/17 14:53, , 20F
sup_n∫|f_n| https://daxiv.com
09/17 14:53, 20F
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文章代碼(AID): #1FzkswMq (Math)
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