Re: [中學] 國中幾何
※ 引述《reoleo (reo)》之銘言：
: ╴ ╴ ╴
: △ABC中，AB = 20，AC = 12，∠A平分線交BC於P，
: ╴ ╴ ╴ ╴╴╴╴╴
: BC上有一點Q，且BQ = CQ，求 √AQ^2+AP^2 =？
: ANS: 8
: ╴ ╴ ╴
: 想法: 第一直覺是利用內分比，BQ:QP:PC = 3:2:3
: 接下來用勾股，可是題目並無∠A=90度的條件
: 所以想了很久還是想不出來...
之前正好我弟跑來問我這題
(應該來源是一樣的吧 XD)
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不過我弟問我那題是 √AP^2 - AQ^2 (根號裡面是減)....
答案的確是 8 沒錯啦
以下我做"減"的這題 這是我當時湊出來的解法 不知道有沒有更好的就是了....
作 AH 垂直 BC 則由勾股可得 AP^2 = PH^2 + AH^2
AQ^2 = QH^2 + AH^2
相減得 AP^2 - AQ^2 = PH^2 - QH^2 = (PH + QH)(PH - QH)
兩個括號後者 PH - QH 是 PQ
前者 PH + QH = PH + (QC - CH) = PH + BP - CH = BH - CH
其中第二個等號用到 BQ = CP 的條件
於是 AP^2 - AQ^2 = PQ(BH - CH)
使用由內分比得到的比 我們有 PQ:BC = 2:8 = 1:4
於是 AP^2 - AQ^2 = (1/4)(BC)(BH - CH)
= (1/4)(BH + CH)(BH - CH)
= (1/4)(BH^2 - CH^2)
最後這個平方差再一次用勾股 AB^2 = BH^2 + AH^2
AC^2 = CH^2 + AH^2
相減得 BH^2 - CH^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 12^2 = 256
於是 AP^2 - AQ^2 = (1/4)(256) = 64 所以原式為 8
思路其實就是要用勾股但沒有直角我就自己做一個出來
所以拉了 AH 垂直 BC
中間的所有計算 (特別是平方差) 都藉由垂足的 H 點連了起來這樣
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加的話題目就很怪了
因為這樣會多出一些 AH 項消不掉 偏偏 AH 又不是固定長度...
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LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.230.62
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04/06 10:47, , 1F
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04/06 11:56, , 2F
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04/06 11:57, , 3F
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04/06 11:58, , 4F
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04/06 11:58, , 5F
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04/06 12:06, , 6F
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唔, 我是直接把當初我和他的 MSN 對話給抄下來
所以沒有仔細看原題有沒有其他地方錯
(其實也是因為當初我弟是用分享照片把題目丟過來的
所以我現在回頭看時就沒有原題可以看了 才沒注意到 BQ = CP 也弄錯了
只注意到和解題過程相關的平方差)
然後關於 P Q 哪邊是哪邊的問題
照我這裡記下來的對話來看當初我看到的角平分線交點是 Q
的確正好和原題相反....(汗)
※ 編輯: LPH66 來自: 140.112.230.62 (04/06 17:45)
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