Re: [中學] 國中幾何
※ 引述《LPH66 (-858993460)》之銘言：
: ※ 引述《reoleo (reo)》之銘言：
: : △ABC中，AB = 20，AC = 12，∠A平分線交BC於P，
: : ╴ ╴ ╴ ╴╴╴╴╴
: : BC上有一點Q，且BQ = CQ，求 √AQ^2+AP^2 =？
: : ANS: 8
: : ╴ ╴ ╴
: : 想法: 第一直覺是利用內分比，BQ:QP:PC = 3:2:3
: : 接下來用勾股，可是題目並無∠A=90度的條件
: : 所以想了很久還是想不出來...
: 之前正好我弟跑來問我這題
: (應該來源是一樣的吧 XD)
: ___________
: 不過我弟問我那題是 √AP^2 - AQ^2 (根號裡面是減)....
綜合以上, 題目以 ∠A平分線交BC於Q, BP=CQ, 且根號裡面是減 較合理.
解這題之前, 先看一個性質,
令 AB=c, BC=a, CA=b, 且 D 在 BC 上, BD:DC= t:(1-t)
A
/ \
c / \ b
/ \
B ---D-----C
t 1-t
則 AD^2 = (1-t)c^2 + tb^2 - t(1-t)a^2
(可用餘弦定理推出)
按題意得 AP^2 = 5/8*c^2 + 3/8*b^2 - 3/8*5/8*a^2
AQ^2 = 3/8*c^2 + 5/8*b^2 - 5/8*3/8*a^2
相減得 1/4(c^2-b^2), 將 c=20, b=12 代入, 可得答案為 8,
此題第三項相減後剛好消掉, 故∠A是否為直角對答案沒有影響.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.38.211.182
推
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