Re: [分析] 積分中的微分消失

看板Math作者時間13年前 (2012/03/31 06:03), 編輯推噓0(0推 0噓 40→)
留言40則, 4人參與, 最新討論串3/4 (看更多)
F(y)-F(y_0) b f(x,y)-f(x,y_0) ───── = ∫ ──────── dx y - y_0 a y - y_0 ( by F(y) 的定義 ) 接著取再極限 F(y)-F(y_0) lim ───── y->y_0 y - y_0 b f(x,y)-f(x,y_0) = lim ∫ ──────── dx y->y_0 a y - y_0 b f(x,y)-f(x,y_0) = ∫ lim ──────── dx a y->y_0 y - y_0 ( 因為 f_y (x,y) 存在 f(x,y)-f(x,y_0) 把 ──────── 定義成 f_y(x,y_0)，使之連續 y - y_0 就可把 lim 放裡面 ) b =∫ f_y(x,y_0) dx a 這樣還有沒有漏洞? 這樣不用看到 y' -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
→
03/31 14:09, , 1F
這想法絕對是錯的，當你對x積分時絕對需要考慮到y'和
03/31 14:09, 1F
→
03/31 14:10, , 2F
x的關係，這情形並不是單純的變數變換。
03/31 14:10, 2F
→
03/31 14:43, , 3F
同意w大 E大的想法我當初也想說是對的
03/31 14:43, 3F
→
03/31 14:43, , 4F
只不過越想越不對勁...
03/31 14:43, 4F
→
03/31 15:01, , 5F
你們真的都想太多了，而且這也不是變數變換
03/31 15:01, 5F
→
03/31 15:02, , 6F
而且硬要說 y' 的關係，它跟 y_0 也有關
03/31 15:02, 6F
→
03/31 15:03, , 7F
把 y' 寫成 y'(x,y,y_0) 放在那個積分裡面
03/31 15:03, 7F
→
03/31 15:03, , 8F
還滿奇怪的
03/31 15:03, 8F
→
03/31 15:04, , 9F
當然，寫成 y'(x,y) 也很怪就是了
03/31 15:04, 9F
→
03/31 15:07, , 10F
y'(x,y,y_0)並不奇怪啊...
03/31 15:07, 10F
→
03/31 15:10, , 11F
對思路很怪，會企圖使人對 x 積分
03/31 15:10, 11F
→
03/31 15:11, , 12F
是阿 就是用MVT的話會積到y中的x了 所以我才會說錯
03/31 15:11, 12F
※ 編輯: ERT312 來自: 114.39.152.137 (03/31 15:40) ※ 編輯: ERT312 來自: 114.39.152.137 (03/31 15:57)
→
03/31 16:08, , 13F
第三個等號是錯的，那積分和定理中的積分並不一樣
03/31 16:08, 13F
→
03/31 16:10, , 14F
對不同的x你會找到不同的y'，在積分時當然要考慮
03/31 16:10, 14F
→
03/31 16:40, , 15F
等等我再改一下,印象中這個做法是可行的
03/31 16:40, 15F
※ 編輯: ERT312 來自: 114.39.152.137 (03/31 16:57)
→
03/31 17:03, , 16F
第二個等號就是這定理要證的東西…
03/31 17:03, 16F
→
03/31 17:06, , 17F
Apostol 把第二個等號當成定理 7.38
03/31 17:06, 17F
→
03/31 17:08, , 18F
你裡面的函數等於f_y嗎？
03/31 17:08, 18F
→
03/31 17:09, , 19F
yes, f_y(x,y) 存在且連續
03/31 17:09, 19F
→
03/31 17:11, , 20F
f_y(x,y)=[f(x,y)-f(x,y_0)]/(y-y_0) ?
03/31 17:11, 20F
→
03/31 17:12, , 21F
lim
03/31 17:12, 21F
→
03/31 17:13, , 22F
定理寫的是lim[∫f_y(x,y)dx]=∫[limf_y(x,y)]dx
03/31 17:13, 22F
→
03/31 17:14, , 23F
後面那項一樣，前面呢？
03/31 17:14, 23F
→
03/31 17:15, , 24F
我的意思是直接把[f(x,y)-f(x,y_0)]/(y-y_0)
03/31 17:15, 24F
→
03/31 17:16, , 25F
視為連續函數
03/31 17:16, 25F
→
03/31 17:17, , 26F
然後把 lim 拿到裡面,不過這樣好像跟Apostol寫的不同
03/31 17:17, 26F
→
03/31 17:17, , 27F
不是所有連續函數都可以這樣搬，定理只說要f_y
03/31 17:17, 27F
→
03/31 17:18, , 28F
如果你能把那函數寫成g_y對某個函數g，當然就OK了
03/31 17:18, 28F
→
03/31 17:18, , 29F
定義 F(x,y)=[f(x,y)-f(x,y_0)]/(y-y_0) 使F(x,y)
03/31 17:18, 29F
→
03/31 17:18, , 30F
連續
03/31 17:18, 30F
→
03/31 17:23, , 31F
F(x,y)用過了，改成H(x,y)
03/31 17:23, 31F
→
03/31 17:25, , 32F
(btw,你們教授有提到Apostol的證法有問題嗎)
03/31 17:25, 32F
→
03/31 17:30, , 33F
剛跑去翻，原來那定理寫的是對在compact set上的連續
03/31 17:30, 33F
→
03/31 17:32, , 34F
函數，那看起來是沒什麼問題。
03/31 17:32, 34F
→
03/31 17:33, , 35F
Apostol上的證法基本上都沒問題吧(我是看到過）
03/31 17:33, 35F
→
03/31 17:38, , 36F
啊，我找到問題了，你必須要check H(x,y)是連續的
03/31 17:38, 36F
→
03/31 17:39, , 37F
要注意的是H(x,y)對x,y方向都連續，並不imply它在整
03/31 17:39, 37F
→
03/31 17:40, , 38F
個[a,b]x[c,d]上連續，Apostol為了避免這問題才沒使
03/31 17:40, 38F
→
03/31 17:41, , 39F
用這方法。
03/31 17:41, 39F
→
03/31 17:43, , 40F
嗯，我這樣寫似乎沒用到 f_y(x,y) 連續的條件
03/31 17:43, 40F
‣ 更多 ERT312 的文章
文章代碼(AID): #1FTYsKIw (Math)
‣ 更多 ERT312 的文章
文章代碼(AID): #1FTYsKIw (Math)