Re: [分析] 積分中的微分
有點多，我就用回的
你所說的都對，這 y' 確實和 (x,y) 相關，為了方便記做 y'=g(x,y)
而 f_y(x,g(x,y))dx 和 G(x) 確實沒有直接的關係，但是…
: <pf> If y_0€(c,d) and y =/= y_0, we have
: F(y)-F(y_0) b f(x,y)-f(x,y_0) b
: ───── = ∫──────── = ∫ f_y(x,y')dx
: y - y_0 a y-y_0 a
: where y' is between y and y_0. Since f_y is continuous on Q,
: we obtain the conclusion by arguing as in the proof of Theorem 7.38
所以你要做的是對
b
H(y)=∫f_y(x,g(x,y))dx,
a
條件是 (1) f_y 連續； (2)對所有 x， g(x,y)→y_0 當 y→y_0
則 H(y) 在 y_0 這點連續。
（這邊就定義 g(x,y_0)=y_0）
而證明的方法和上面所寫的定理應該幾乎是一樣的，粗略寫一下：
b
|H(y)-H(y_0)|<=∫|f_y(x,g(x,y))-f_y(x,y_0)|dx
a
對固定 e>0，存在 d_1 使得 |f_y(x,y')-f_y(x,y_0)|<e 對 |y'-y_0|<d_1
而 g(x,y) 在 y=y_0 是連續的，所以 |g(x,y)-y_0|<d_1 對 |y-y_0|<d_2
因此對所有 x， |f_y(x,g(x,y))-f_y(x,y_0)|<e 對 |y-y_0|<d_2
則 |H(y)-H(y_0)|<(b-a)e
注意這裡的連續對 x 都是 uniform 的，所以取 d_1 d_2 時和 x 無關，
而在做不等式時可以固定一個 x 來看會比較清楚
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推
03/31 15:32, , 1F
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