Re: [微積] 多變數函數的gradient的一個證明
※ 引述《testishard (testishard)》之銘言：
: 可否用gradient的定義證明以下這個小定理：
: 如果 f 和 g 是有相同定義域 D 的 n多變數函數，且在 x 都可微。
: If g(x) ≠ 0, then f/g is diff. at x
: g(x)▽f(x) — f(x)▽g(x)
: and ▽(f/g)(x) = ————————————
: [g(x)]^2
: ========================以下為我的想法=========================
: f(x+h) f(x)
: (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ——— － ——
: g(x+h) g(x)
: g(x)f(x+h) － f(x)g(x+h)
: = ————————————
: g(x)g(x+h)
: g(x)[f(x+h) － f(x)] － f(x)[g(x+h) － g(x)]
: = ——————————————————————
: g(x)g(x+h)
: ∵ f and g are diff. at x ∴ ∣ f(x+h) － f(x) = ▽f(x)‧h + o(h)
: ∣
: ∣ g(x+h) － g(x) = ▽g(x)‧h + o(h)
: g(x)[▽f(x)‧h + o(h)] － f(x)[▽g(x)‧h + o(h)]
: (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ————————————————————————
: g(x)g(x+h)
: [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)]‧h + g(x)o(h)－f(x)o(h)
: = —————————————————————————
: g(x)g(x+h)
: [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)] g(x)o(h)－f(x)o(h)
: = —————————————‧h + —————————
: g(x)g(x+h) g(x)g(x+h)
: ﹌﹌﹌
: ↑
可微分的定義就是，存在線性算子T使得
|F(x+h)-F(x)-Th|/|h|-> 0, if h-> 0.
以本題來說，F(x)=f(x)/g(x), T(h)=[g(x)(▽f(x)‧h) － f(x)(▽g(x)‧h)]/g(x)^2.
既然你得到了F(x+h)-F(x)的估計，你當然可以得到
F(x+h)-F(x)-T(h) =
[g(x)(▽f(x)‧h) － f(x)(▽g(x)‧h)]*(1/g(x)^2 -1/g(x)g(x+h))+...
所以重點就在於[g(x)(▽f(x)‧h) － f(x)(▽g(x)‧h)]*(1/g(x)^2 -1/g(x)g(x+h))
的估計怎麼做。利用函數本身的連續性，你可以估計(1/g(x)^2 -1/g(x)g(x+h))
再利用科西不等式，你可以估計整個
[g(x)(▽f(x)‧h) － f(x)(▽g(x)‧h)]*(1/g(x)^2 -1/g(x)g(x+h))
然後就得到可微的結論，並且微分等於你要的。
並且T=▽F。
: 這個要怎麼辦 ?
: 後面那一陀東東很容易證明是 o(h)，但是前面的那一陀東西要怎麼處理
: 很明顯不符合可微的定義。若將前項分母的g(x+h)改寫成〔g(x) + [g(x+h)－g(x)]〕
: 代入後只會將整個式子搞得更噁心，且似乎也無法湊出所要證的東西…
: 這個問題已經困擾我一個晚上，害我失眠了…
: 有沒有哪個好心的神人可以解惑一下，謝謝！
: 感激不盡
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