[微積] 多變數函數的gradient的一個證明

看板Math作者testishard (testishard)時間14年前 (2012/03/10 04:39)推噓4(4推 0噓 18→)

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可否用gradient的定義證明以下這個小定理：如果 f 和 g 是有相同定義域 D 的 n多變數函數，且在 x 都可微。 If g(x) ≠ 0, then f/g is diff. at x g(x)▽f(x) — f(x)▽g(x) and ▽(f/g)(x) = ———————————— [g(x)]^2 ========================以下為我的想法========================= f(x+h) f(x) (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ——— － —— g(x+h) g(x) g(x)f(x+h) － f(x)g(x+h) = ———————————— g(x)g(x+h) g(x)[f(x+h) － f(x)] － f(x)[g(x+h) － g(x)] = —————————————————————— g(x)g(x+h) ∵ f and g are diff. at x ∴ ∣ f(x+h) － f(x) = ▽f(x)‧h + o(h) ∣ ∣ g(x+h) － g(x) = ▽g(x)‧h + o(h) g(x)[▽f(x)‧h + o(h)] － f(x)[▽g(x)‧h + o(h)] (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ———————————————————————— g(x)g(x+h) [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)]‧h + g(x)o(h)－f(x)o(h) = ————————————————————————— g(x)g(x+h) [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)] g(x)o(h)－f(x)o(h) = —————————————‧h + ————————— g(x)g(x+h) g(x)g(x+h) ﹌﹌﹌ ↑ 這個要怎麼辦 ? 後面那一陀東東很容易證明是 o(h)，但是前面的那一陀東西要怎麼處理很明顯不符合可微的定義。若將前項分母的g(x+h)改寫成〔g(x) + [g(x+h)－g(x)]〕代入後只會將整個式子搞得更噁心，且似乎也無法湊出所要證的東西… 這個問題已經困擾我一個晚上，害我失眠了… 有沒有哪個好心的神人可以解惑一下，謝謝！感激不盡 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 106.1.225.110

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herstein

03/10 06:32, , 1^F

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testishard

03/10 07:07, , 2^F

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testishard

03/10 07:09, , 3^F

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