Re: [微積] 多變數函數的gradient的一個證明

看板Math作者testishard (testishard)時間14年前 (2012/03/10 09:35)推噓2(2推 0噓 16→)

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※ 引述《testishard (testishard)》之銘言： : 可否用gradient的定義證明以下這個小定理： : 如果 f 和 g 是有相同定義域 D 的 n多變數函數，且在 x 都可微。 : If g(x) ≠ 0, then f/g is diff. at x : g(x)▽f(x) — f(x)▽g(x) : and ▽(f/g)(x) = ———————————— : [g(x)]^2 : ========================以下為我的想法========================= : f(x+h) f(x) : (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ——— － —— : g(x+h) g(x) : g(x)f(x+h) － f(x)g(x+h) : = ———————————— : g(x)g(x+h) : g(x)[f(x+h) － f(x)] － f(x)[g(x+h) － g(x)] : = —————————————————————— : g(x)g(x+h) : ∵ f and g are diff. at x ∴ ∣ f(x+h) － f(x) = ▽f(x)‧h + o(h) : ∣ : ∣ g(x+h) － g(x) = ▽g(x)‧h + o(h) : g(x)[▽f(x)‧h + o(h)] － f(x)[▽g(x)‧h + o(h)] : (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ———————————————————————— : g(x)g(x+h) : [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)]‧h + g(x)o(h)－f(x)o(h) : = ————————————————————————— : g(x)g(x+h) : [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)] g(x)o(h)－f(x)o(h) : = —————————————‧h + ————————— : g(x)g(x+h) g(x)g(x+h) : ﹌﹌﹌ : ↑ : 這個要怎麼辦 ? : 後面那一陀東東很容易證明是 o(h)，但是前面的那一陀東西要怎麼處理 : 很明顯不符合可微的定義。若將前項分母的g(x+h)改寫成〔g(x) + [g(x+h)－g(x)]〕 : 代入後只會將整個式子搞得更噁心，且似乎也無法湊出所要證的東西… : 這個問題已經困擾我一個晚上，害我失眠了… : 有沒有哪個好心的神人可以解惑一下，謝謝！ : 感激不盡因為h大的推文讓我有些困惑，所以我把我的疑點提出來如果我沒記錯的話，把gradient化為偏微分的形式的定理是： Let f be a n-variables function and x=(x_1, ..., x_n) If f has "continuous" first order partial derivatives, df/dx_1, ..., df/dx_n at x, then f is diff. at x and ▽f(x) = (df/dx_1, ..., df/dx_n) 若我沒理解錯誤的話，上述定理的意思應該是除非可以知道: (1) 所有 f 的偏微分都存在如果 (2) 所有這些對 f 做 x_i 偏微分所得的函數都要在x_i連續，則才能確定 f 在 x 可微，且▽f(x) = (df/dx_1, ..., df/dx_n) 所以若只是知道 f 在 x 點可微，就把 ▽f(x) 寫成 (df/dx_1, ..., df/dx_n) 那不就是把自動把此定理看成若且為若嗎？這樣邏輯上會有誤吧！！我原來的問題給條件只有 f and g if diff. at x.還有 g(x)≠0 所以我跟本不可能得知 f 和 g 各自所有的偏微分存不存在，更不知道這些 f 和 g 的偏微分在該點連不連續，因此我無法將▽f(x)和▽g(x)寫成(df/dx_1, ..., df/dx_n)和(dg/dx_1, ..., dg/dx_n) 而且我就是要證明 f/g 可微，更不可能知道 d d ▽(f/g)(x) = ( — (f/g), ..., — (f/g) ) dx_1 dx_n 所以哪來的 quotion rule 可以用？？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 106.1.225.110

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herstein

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