Re: [線代] 一題考古題
※ 引述《hjmeric (Jimmy)》之銘言：
: ※ 引述《silentsecret ()》之銘言：
: : 若A、B為n*n實矩陣，AB=BA
: : 證明A、B有一共同的eigenvector
: : 請問大家了!
: 這個應該是錯的敘述
: A=[1 0] B=[0 1] AB=BA=B
: [0 1] [1 0]
: eigenvector of A={[1] [0]}
: [0] [1]
: eigenvecto of B ={[1] [1 ]}
: [1] [-1]
: 並沒有共同的eigenvector，
: 這題好像是台大某一年的考題。
我上面這個反例舉錯了
題目如果是over R 那B=[0 -1]
[1 0]
會是反例，但是，我看那年的考古題是over C，
所以A 和B 都必存在至少一eigenvector，
假設 Bv=λv, BAv=ABv=Aλv=λAv， 所以Av也是eigenvector of B
對應的也是λ，
考慮 S=span{v,Av,...,A^(m-1)v}, dim(S)=m,
claim (A^m)v is a common eigenvector of A and B.
B的部分剛剛證過 因為 v是eigenvector，則Av也是。
(A^m)v=c_1*v+c_2*Av+...+c_m*A^(m-1)v
A(A^m)v=A(c_1*v+c_2*Av+...+c_m*A^(m-1)v)
=λ(c_1*v+c_2*Av+...+c_m*A^(m-1)v)=λ(A^m)v.
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◆ From: 140.112.217.1
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