Re: [中學] 高中數學競賽一題
提供另一個看法，假設n=(2+√α)^(1/3)+(2-√α)^(1/3) > 0
則n^3=(2+√α)+(2-√α)+3*[(2+√α)*(2-√α)]^(1/3) * n
= 4 + 3n*(4-α)^(1/3)
整理後可得(4-α)^(1/3)=(n^3-4)/3n，但由α＞0知(4-α)^(1/3)<4^(1/3)<5/3
所以(n^3-4)/3n＜5/3，即n^3-5n-4<0 (因為n是正整數，故可直接整理)
解不等式得0＜n＜(1+√17)/2≒2.*&()&*&* (小於0的部分不考慮)
因n為正整數，故n只能為1或2
n=1,α=5
n=2,α=100/27
※ 引述《pgcci7339 (= =)》之銘言：
: α為正實數，(2+√α)^(1/3)+(2-√α)^(1/3)為一正整數，則α=？
: 我是令 a=(2+√α)^(1/3)，b=(2-√α)^(1/3)，可得
: a^3+b^3=4，ab=(4-α)^(1/3)，a+b=n，n為正整數
: 由 a^3+b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b) 可得
: 4= n^3-3abn
: 然後就做不下去了...
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