Re: [中學] 高中數學競賽一題
※ 引述《pgcci7339 (= =)》之銘言：
: α為正實數，(2+√α)^(1/3)+(2-√α)^(1/3)為一正整數，則α=？
: 我是令 a=(2+√α)^(1/3)，b=(2-√α)^(1/3)，可得
: a^3+b^3=4，ab=(4-α)^(1/3)，a+b=n，n為正整數
: 由 a^3+b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b) 可得
: 4= n^3-3abn
: 然後就做不下去了...
由4 = n^3-3abn
n^3-4
得ab = ─── (兩根之積)
3n
加上a+b=n (兩根之和)
n^3-4
x=a,b 為 x^2-nx+─── = 0 之兩根
3n
故判別式D>=0
n^3-4
n^2-4*1*─── >=0 (其實就是在算(a+b)^2-4ab=(a-b)^2>=0
3n
化簡得 n(n^3-16) <= 0
得 0<= n <=16^(1/3)
又n為整數,故n=1或2
另外ab=(2+√α)^(1/3) * (2-√α)^(1/3)=(4-α)^(1/3)
(ab)^3=4-α
n^3-4
α=4-(ab)^3=4- (───)^3
3n
若n=1 α=5
若n=2 α=100/27
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◆ From: 61.64.69.53
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12/28 00:44, , 1F
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12/28 02:20, , 2F
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