Re: [分析] Royden 習題
※ 引述《iamwjy (醉翁之意)》之銘言：
: 想請問第二章的習題 38
: Suppose f:[a,b]→|R is Lipschitz. Prove:
: (1) f maps a measure zero set to a measure zero set.
: (2) f maps an F-sigma set to an F-sigma set.
: (3) f maps a measurable set to a measurable set.
: (1) 已經解決，但是後面兩小題沒有什麼想法，
: 請各位高手幫忙，感激。
[直接貼]
【函數：|R^n → |R^n, 與可測集的簡單關係】
(動機) 對於 Lebesgue Outer Measure 而言，我們發現 Lebesgue Outer Measure 是獨
立於座標系統。因此，旋轉將可測集合依然送至可測集合。
討論：這是一個直覺性的結論，因為 n 維度區間經由旋轉之後，依然是 n 維度區間。
而且 Lebesgue Outer Measure 是藉由 n 維度區間來定義的。因此，我們並不意
外有如此之結果。此外，旋轉是一種線性映射 (＝＞ Lipschitz ＝＞ 連續映射)。
我們現在來研究這些映射會有什麼樣的結果。
首先，我們必須提到的是連續映射未必會將可測集合送至可測集合 (＊).
（＊）命 Φ 為 Cantor-Lebesgue function, 且 F(x)：＝I(x)＋Φ(x)：[0,1]→[0,2].
已知 F(C) 為測度 1 之集合，故存在一不可測集 P 落於 F(C). 考慮
F^(－1) (P) (≦ C) |→ P.
故可知連續映射未必會將可測集送至可測集。
但連續映射會將 F_σ set 送至 F_σ set. 因此，我們寫成下面引理。
(引理) 命 f:|R^n →|R^n 之連續函數，則 f 將 F_σ set 送至 F_σ set.
討論：這是由於連續函數會將 Compact set 送至 Compact set.
更進一步，對於滿足 Lipschitz 的函數，我們有以下定理：
(定理 1) 命 f:|R^n →|R^n 滿足 Lipschitz 條件，則 f 將可測集送至可測集。
討論：顯然地，滿足 Lipschitz 條件之函數必為連續，且根據可測集合的特徵性，我們
可將可測集 E 寫為 E＝F∪Z, 其中 F 為 F_σ set 且 |Z| = 0. 藉由 Lipschitz
條件，我們知道 |f(Z)|＝0. 由此，配合引理與 (＊)，我們可發現下面的事實：
連續函數 f_1 與 Lipschitz 函數 f_2 僅相差在於
┌──────────────────────┐
│ 是否 f_1 會將零測度集送至零測度集 ? │
└──────────────────────┘
例子：命 Z 為零測度集合，則 {x^2: x in Z} 也是零測度。
(推論) 命 T:|R^n →|R^n 為線性映射，則 T 將可測集 E 送至可測集 T(E), 且 |T(E)|
＝|det(T)|．|E|.
討論：此推論乃定理 1 之立即結果。注意到當 E 為 n 維度區間時，稱 E 為 I, 則
|T(I)|＝|det(T)|．|I|.
實為顯然。故有此等式 |T(E)|＝|det(T)|．|E|.
更為廣義的是，命 T:|R^n → |R^n 為線性映射，則
|T(E)|_e＝|det(T)|．|E|_e.
如果 T 是 singular, 則 T 會將 |R^n 降低維度。
故 |T(E)|_e ＝ |T(E)| ＝ 0.
由定理 1 之討論，我們可以寫出更為廣義的定理。
┌─────────────────────────────────────┐
│(定理 2) 命 f:|R^n →|R^n, 若函數 f 將 F_σ set 送至 F_σ set 且將測度為 0│
│ 之送至測度為 0 之集合，則 f 將可測集送至可測集。 │
└─────────────────────────────────────┘
(定理 3) 若 f(x) 是 [a,b] 上之絕對連續函數，則 f 將可測集送至可測集。
討論：上述所言之 f 將可測集送至可測集是指，若 E 為 [a,b] 之可測子集，則 f(E)
也是可測集。這結論會成立是來自定理 2. 也就是說，一個絕對連續的函數會將
測度為 0 的集合送至測度為 0. 注意到
┌──────────────────────┐
│ Lipschitz ＝＞ 絕對連續 (AC) ＝＞ 連續 │
└──────────────────────┘
NOTE.
如果 f 不再是 |R^n 送至 |R^n, 例如: |R^2 送至 |R 的連續映射，即使是 Lipschitz,
也未必將可測送至可測。
命 f: |R^2 → |R 的 projection. 且 E ＝ □_______
^^^^^^^ 這一段藏不可測。
顯然 E 依然在 |R^2 上是可測，但是當我們考慮了投影
f(E) ＝ _________ 為不可測集合。
^^^^^^^
(習題) 命 V 為 |R^2 中一子集且 V 在 x 軸的投影為 [0,1].
收集
F = {f:[0,1] → |R | (x,f(x)) is in V for all x in [0,1]}
問：若 F 中沒有一個函數是可測的，是否 V 就是不可測的呢?
答：未必.(留給你)
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.25.169
推
12/14 23:54, , 1F
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