Re: [線代] Jordan canonical form的求法

看板Math作者robertshih (施抄)時間14年前 (2011/11/12 02:14)推噓3(3推 0噓 17→)

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不好意思, 我剛剛在練習求 Jordan form 時, 遇到一些問題: 首先題目是 [8 0 0 8 8] [0 0 0 8 8] A = [0 0 0 0 0], eigenvalue = 8, 0 [0 0 0 0 0] [0 0 0 0 8] [1] [0] 我先解出 N(A-8I) = span{[0]} [0] [0] [0] [1] [1] [0] 然後解 N((A-8I)^2) = span{[0], [0]}, 找到了一個新的generalized eigenvector [0] [0] [1] [0] [0] [0] [1] [0] 接著解 N(A-0I) = span{[0], [1]} [0] [0] [0] [0] [0] [0] [-1] [1] [0] [ 0] 然後解 N((A-0I)^2) = span{[0], [1], [ 0]} [0] [0] [ 1] [0] [0] [ 0] [1 0 0 -1 0] [8 8 ] [0 1 1 0 0] -1 [ 8 ] 但是取 P = [0 0 0 0 1], P AP卻不是 Jordan form (結果是[ 0 8 ]), [0 0 0 1 0] [ 0 ] [0 1 0 0 0] [ 0] 後來查了 http://ccjou.twbbs.org/blog/?p=2673 才知道 [8 0 0 -1 0] [0 1 8 0 0] P 要取成 [0 0 0 0 1] 才會有 Jordan form, [0 0 0 1 0] [0 1 0 0 0] 可否請問 e1 與 e3 的取法, 為何要到 8 而不是取 1, 謝謝. ※ 引述《robertshih (施抄)》之銘言： : 感謝您的回應, 十分受用. : 想請問一下, 如果有需要將 generalized eigenvectors 一同求出 : (就是要求 A = PJP-1 的 P) : 這個方法有辦法做到嗎? : 另外想請問文中 nullity 的判斷方式, : 是不是對 (A-cI)^m 做高斯消去法得到 rank 後, : 再用 n - rank = nullity? : 謝謝 : ※ 引述《TassTW (塔矢)》之銘言： : : 如同板友推文, 第三步相當繁瑣只是要看 Jordan form 的話不用那樣做 : : 但光看 minimal polyn 也不夠, 他只能決定最大的 Jordan block : : 要知道中間的 Jordan blocks 的資訊還是要看 nullity 的改變 : : 我以 J(c,n) 表示 n by n , eigenvalue 為 c 的 Jordan block : : 前兩步你知道 eignevalues 有哪些 : : 現在只剩判斷 eigenvalue c 的 Jordan blocks 的長相 : : 可以觀察 m = 1,2... 時 (A-cI)^m 的 nullity 來決定 : : 因為每個 J(c,n) 提供的 nullity 如下 : : m 1 2 3 4 5 6 : : ────┼─────────────────────── : : J(c,1) 1 1 1 1 1 1 : : J(c,2) 1 2 2 2 2 2 : : J(c,3) 1 2 3 3 3 3 : : J(c,4) 1 2 3 4 4 4 : : : : : : : : 看 (A-cI)^m 到 (A-CI)^{m+1} 的 nullity 變大多少 : : 就知道有幾個 Jordan blocks J(c,m) : : 結論: : : null(A-cI)^1 = 有幾個 blocks J(c,≧1) : : null(A-cI)^2 : : - null(A-cI)^1 = 有幾個 blocks J(c,1) : : null(A-cI)^3 : : - null(A-cI)^2 = 有幾個 blocks J(c,2) : : : : : : : : : -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.30.46

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