Re: [代數] φ(d)=n
※ 引述《IminXD (Encore LaLa)》之銘言：
: 一題子群部分的相關題目..
: Let n € Z+. Then Σ φ(d)=n .
: ↑ (d|n)
: 屬於
: 要證明這件事情..
: 題目就不太懂內含了，更不知道該怎麼證...囧
推文推錯有點嘔就決定直接回文XD
我這本課本的approach 是
Definition:
Let ξ is a n-th primitive root of unity and if n is the smallest positive
n
integer such that ξ =1.
然後一個簡單的Lemma
Lemma:
n
Let ξ is a primitive d-th root of unity and ξ =1, then n=0 (mod d)
用n=dq+r就可以證明了
定義一個函數
Φ (x)= Π (x-ξ)
d ξ^d=1
接下來最難的部分是把 phi function跟他做連結
Theorem
φ(n)={d|1<=d<=n gcd(d,n)=1} = deg(Φ (x) )
n
這中間要用我推文用到的方法=..=
最後!!
n
x -1= Π Φ (x)
d|n d
d>0
就得到我們要的結果了XD
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