Re: [分析] 有關modular form中metric ds^2的問題
※ 引述《bineapple (Bineapple)》之銘言：
: 2 2
: 2 4 ( (dx) + (dy) )
: ds (z) = ------------------------ z = x + iy
: k 2 2
: ( 1- |z| )
: 可是我真的下去算之後卻怎樣都無法得到耶
: 我其實不是很懂他function composition是怎麼用的
: 有高手可以說明一下嗎?? 謝謝!
我算了另一邊 orz
以 z_b, w_b 表示 z, b 的共軛複數
並令 z = u+iv, w = x+iy
w-i -2i 2i
z = ----- = 1 + ----- => z_b = 1 + -----
w+i w+i w_b-i
於是有
2i dw -2i dw_b 4dw dw_b
dz = --------- , dz_b = ---------- => dzdz_b = ------------
(w+i)^2 (w_b-i)^2 |w+i|^4
(du)^2+(dv)^2 (dz)(dz_b) 4 dw dw_b
------------- = -------------------------- = --------------------
(1-|z|^2)^2 [1 - |(w-i)/(w+i)|^2]^2 [|w+i|^2-|w-i|^2]^2
4 dw dw_b (dx)^2 + (dy)^2
= -------------- = -----------------
16y^2 4y^2
[ 其中 |w+i|^2 - |w-i|^2 = (w+i)(w_b-i) - (w-i)(w_b+i) = 2i(w_b-w) ]
[ = 2i(-2i) Im(w) = 4y ]
把 4 乘過去就有原來的 metric 了
很奇怪的事情是... 我從本來那邊計算, 一直差一個莫名其妙的項(?)
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